CHAPITRE MIL
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE BAPPORTS D'INFINIMENT PETITS.
69. Le point de vue auquel les modernes ont considéré les tangentes aux courbes les a conduits naturellement aux rapports de quantités décroissant indéfiniment. Les anciens regardaient les tangentes comme des lignes telles, qu'à partir du point commun avec la courbe les deux brancbes de celle-ci se trouvent d'un même côté de la droite ; tandis que les modernes, depuis Descartes, les ont regardées comme limites de sécantes passant par *le point donné de la courbe et par un second point de la même courbe, qui se rapproche indéfiniment du premier. Il est résulté de là, comme nous allons le montrer, que les modernes ont été conduits à la recherche de limites de rapports d'infiniment petits, problème dont les anciens n'ont pas eu occasion de s'occuper.
Les points d'une courbe peuvent êtie rapportés à des systèmes de coordonnées très-divers, c'est-à-dire déterminés de bien des manières difierentes par les valeurs de quantités variables. Nous allons examiner plusieurs de ces systèmes, et montrer que dans tous les cas la détermination de la tangente revient à celle de la limite du rapport de deux, quantités infiniment petites, dépendant Tune de l'autre^ d'après les données de la question.
70. Coordonnées rectilîgnes. — Soient M [fig* 23 ) u point donné sur une courbe rapportée à deux axes AX, AY^
DES QUANTITÉS CONSIDÉXtlS GOMME LIMITES. 9I
AP, MP ses coordonnées ar, ^^ M' un point de la même courbe, qui se rapproche indéfiniment de M, et dont les coordonnées soient ar-h A, j^-f- A; la sécante MM' coupe Taxe des a: en un point S, et la limite R de la position de ce point déterminera la limite de la sécante, ou la tangente. La limite de S sera connue si l'on trouve la limite de PS :
or on a la proporuon — = -^j^ = -•
Donc, en prenant les limites des deux membres,
d'où
limh
Donc la détermination de la tangente à la courbe se ramène à celle de la limite du rapport de deux quantités infiniment petites, qui sont les différences des coordonnées du point donné et d'un point infiniment voisin pris sur la courbe, et qui sont liées l'une à l'autre au moyen de l'équation de la courbe donnée.
Au lieu de déterminer PR ou la sous-tangente, on peut cbercher l'angle de la tangente avec l'axe des x. Soient Q
l'angle des axes, nr l'angle cherché, /w = limT' on aura,
parle triangle MRP,
sinw Y = crr- = m ;
sin(ô — w) PR
d'où
m sin ô cosw — m sinw cosô = sin«,
et, par suite,
m sin ô
tangw = -7
^ 1 -f- w cos 0
g2 LIVRE I.
et, si les axes sont rectangulaires,
tang6> z=z m = lim — •
n est inutile de faire remarquer qu'il faut avoir soigneusement égard aux signes des accroissements MH, M' H, sans quoi la sécante MM' et sa limite ne seraient pas du côté où elles doivent être par rapport à MH.
71 . Coordonnées polaires. — Soient O le pôle {fig» M)^ OX Taxe, M un point donné sur une courbe dont on a l'équation, et dont les coordonnées sont 6 et r ; M' un point infiniment voisin \ helk les accroissements de 6 et r en passant de M à M' : la tangente en M sera la limite de la sécante SMM', et peut être déterminée par la limite de l'angle OMS, fjui est la même que celle de MOM', puisque la diflTérence de ces deux angles est MOM' qui tend vers zéro. Soit o) cette limite ou l'angle que fait' la tangente avec OM. Décrivons de O avec OM pour rayon l'arc MH, et joignons MH ; le triangle MHM' donnera
sinHM'M HM
sinHMM' HM'
Observons maintenant que l'angle H M 'M a pour limite 0)^ que l'angle H a pour limite un angle droit, puisque l'angle en O du triangle isoscèle HOM a pour limite zéro ^ que, par conséquent, la somme des deux angles en M, M.^ dans le triangle MHM' a pour limite un angle droit, d'où il résulte que les limites de ces deux angles sont complémentaires. D'après cela, en égalant les limites des deux membres de l'équation précédente, on aura
sin» ,. HM cos 6) HM'
Or on peut, d'après le principe fondamental des infini—
ment petits, remplacer HM par toute autre quantité dont le rapport avec HM ait pour limite Tunité^ et Ton a vu, dans la Trigonométrie, que le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde a pour limite Tunité. On peut donc remplacer la corde HM par Tare dont la valeur est rA, et Féquation précédente devient
tango» r=: lim -7- =^ '^ lina 7 = -
limT h
Le problème des tangentes, dans un système de coordonnées polaires, est donc encore ramené à la recherche de la limite du rapport de deux infiniment petits^ dépendant Tun de Tautre au moyen de Téquation de la courbe, et qui sont les difTcrences des coordonnées de deux points infiniment voisins appartenant à la courbe.
72. Troisième système de coordonnées. — Supposons maintenant les points déterminés par leurs distances à deux points fixes. A, B [fig* aS)^ soient M le point où Ton veut mener la tangente, et dont les deux coordonnées seront AM = r, BM = r' ^ M' un point infiniment voisin ayant pour coordonnées r + A, r' + A^ la tangente sera la limite de la sécante MM', et peut être déterminée, par exemple, par les angles w, œ' qu elle forme respectivement avec MA, MB.
Ayant pris MH = A, MK = k dans le sens qui convient au signe, et décrivant de A et B comme centres avec les rayons AH, BK des arcs de cercle, ils se rencontrent en M'. Si Ton joint M' H, M, K' les angles K et H auront chacun pour limites un angle droit, puisque les arcs KM', HM' tendront vers zéro 5 les angles formés par MM' en M' et en M auront, par suite, des limites complémentaires ^ ces limites pour les angles en M ont été désignées par cd, co'.
g4 LIVRE I.
Cela posé, on aura
KM sinMM^K HM sinMM^H
mW '^' sinR ' MM'"" sinH '
doù
sinMM^H sinK A
sinMM'K'sinH""^'
en prenant les limites des deux membres,
, , cos» ,. h (i) ^ = lim-7.
Les angles co, o)' de la tangente avec MA, MB sont donc déterminés dès qu'on connaîtra lim~9 puisque leur somme
est connue.
Le problème des tangentes est donc encore ramené, dans ce nouveau système, à cberclier la limite du rapport des différences infiniment petites des coordonnées de deux points de la courbe.
73. Au lieu de déterminer par le calcul les angles «, «', entre lesquels on a deux équations, on peut facilement construire la tangente d'après Féquation (i). En effet, si Ton prend sur MA et MB, ou sur leurs prolongements, deuTL
longueurs MS, MK ayant un rapport égal à lim -jj qu'on
élève en S et R des perpendiculaires sur AM, MB, et qu'on.
joigne leur point de rencontre I à M, la droite IM sera la.
tangente, car les cosinus des angles IMS, IMR auront poujr
rapport
MS ,. h
-— - ou lim - • MR ^
On aurait pu arriver directement à cette constructiovi sans passer par l'équation (i), et par des considérations q
DES QUANTITÉS GONSIDÉHÉES GOMME LIMITES. gS
se retrouvent soayent dans l'emploi des infiniment petits en Géométrie.
Sur le rayon AM prolongé {fig» 26), prenons une quantité constante MP; menons PS parallèle à M' H jusqu'à la rencontre de MM' en S; menons ensuite SQ parallèle à M'K; le quadrilatère MPSQ sera semblable à MHM'K, et Ton aura
mp:mq::mh:mk::^:/^.
A mesure que h elk tendent vers zéro, MQ tend donc vers
la valeur finie dont le rapport à MP est la limite dcr*
La sécante MM' étant toujours dans la direction de la diagonale MS, la tangente sera la limite de cette direction, c'està-dire celle de la diagonale du quadrilatère limite de PMQS. Or les angles P et Q de ce quadrilatère, étant égaux respectivement à H et K, ont pour limites des angles droits. On construira donc facilement le quadrila-
tere limite quand on connaîtra la limite de - ou de~;
car on en déduit immédiatement la limite MR de MQ. Il suffit ensuite d'élever en P et en R des perpendiculaires à AM, MB, et de joindre leur point de rencontre I au point M : cette dernière ligne sera la tangente. Cette construction, obtenue par des considérations différentes, coïncide avec la précédente.
74. jiutre système de coordonnées. — Supposons act.iiellement que les points soient déterminés par leur distance à un point fixe O (fig- 27), et une abscisse ou une ordonnée par rapport à une ligne fixe quelconque passant J>ar O. Soient A l'origine des abscisses, AP = x, PM = y^ OM = r -, le point quelconque M sera déterminé par x et r. Oïl j et r.
Cela posé, M étant un point quelconque d'un lieu, dé-
terminé par une relation entre ces coordonnées, on demande de trouver la direction de la tangente en ce point.
Soient MK = A, PP' = h les accroissements correspondants de r et a: pour passer à un point voisin M' du lieu, et qu'on portera dans un sens ou dans l'autre, suivant qu'ils seront positifs ou négatifs. Dans le quadrilatère MHM'K, l'angle K tendra vers un angle droit en même temps que h et k vers zéro, et la diagonale MM' vers la tangente.
Nous nous bornerons ici à Tun des procédés employés dans le cas précédent. Nous prendrons PR constant 5 par le point S de la sécante correspondant à l'abscisse AR, menons les droites SQ, ST parallèles à M'K, M'H : le quadrilatère MQST sera semblable à MKM'H, et la limite de la direction de sa diagonale MS sera la tangente cberchée. Or on . pourra construire le quadrilatère limite si Ton connaît la limite de MQ, PR ou son égal TS étant constant 5 et
comme on a
