MP

qui est égal au rapport —• •

Or

MV sin A MU sin X ^

Mi — sïnV' MB"~sïnû''

MU MB sinX- sinV sin a sinX* sinV

MV MA sin A sinU sine sin A sinU

Or les angles V et U ayant pour limite l'angle AMB, oii a

-. sinV hm-^— = i; smU

d.eplus

,. sin/- ,. k

lim-r-T = hm-7> sm^ h

puisque le rapport d'un angle infiniment petit à son sinus <^ pour limite l'unité. On a donc

,. MU sin a-. /• MP MV sin6 h MI^

CaU. inf, D. — I.

donc enfin le problème est encore ramené à la recherche de la limite du rapport des difierences des coordonnées de deux points, infiniment voisins, du lieu. Quand on Taura trouvée, on connaîtra MI, et par les points P et I on mènera des parallèles à MA, MB, qui par leur rencontre détermineront un point de la tangente.

On pourrait procéder d'une autre manière, et calculer les angles de la tangente avec les rayons vecteurs, ou les limites des angles VM'M, MM'U. On a, en efiet,

sinVM'M MV sinMM'U MU

? 7—rr; — — 77777»

sinV MM' sinU MM'

d'où

sinVM^M sinV MV ^

sinMM'U"" sinU'Mu'

sin V or . a pour limite i -, donc, en appelant x, j^ les angles

de la tangente MT avec MA, MB, on aura

sin;r MV sine h

-. — = lim -— r = -. — lim -> sinj- MU sma a^

et, comme la somme x+y est connue, le problème est ré-

solu dès que Ton connaît la limite du rapport -j

De l'existence des tangentes en général.

76. Nous venons de passer en revue un assez grand nombre de systèmes de coordonnées, dont quelques-uns ne sont presque jamais employés*, et nous avons reconnu que, dans tous les cas, le problème des tangentes était ramené a la recherche de la limite du rapport de deux quantités infiniment petites. Le nombre des systèmes que Ton pourrait employer pour la détermination des points sur un plan est illimité, et, par les cas variés que nous avons considérés.

nous avons voulu, faciliter les recherches auxquelles d'autres cas peuvent donner lieu. On cherchera toujours à ramener la direction de la sécante à dépendre d'infiniment petits quelconques, dont il soit possible de calculer la limite du rapport, soit que les points du lieu soient déterminés par une équation, soit qu'on connaisse la loi de leur génération, sans en avoir déduit Téquation entre les coordonnées.

Mais, avant d'aller plus loin, il est à propos de s'assurer que le problème dont nous nous occupons a généralement une solution; c'est-à-dire qu'en tout point d'une courbe déterminée par une équation, ou par une loi de construction qui pourrait conduire à une équation entre des coordonnées de nature quelconque, il existe une tangente. En d'autres termes, il faut démontrer que, lorsque deux variables dépendent l'une de l'autre, le rapport des accroissements infiniment petits correspondants de ces variables a en général une limite ] car c'est à ce problème de calcul que nous avons ramené le problème géométrique.

Cette proposition importante peut être établie simplement, de la manière suivante.

Théorème général.

77. Soit j- une fonction quelconque d'une variable x, assujettie seulement aux conditions suivantes : i** que, lorsqu'à partir d'une valeur quelconque on donne un accroissement A à a:, il en résulte un accroissement unique k de j^, qui tende vers zéro, si l'on fait tendre h vers zéro ; 2** qu'à partir de toute valeur de x on en puisse prendre une autre quien difière d'une quantité finie déterminée telle, que si x y varie dans le même sens dans tout l'intervalle compris entre elles, jr varie constamment dans un même sens, c'est-à-dire toujours en augmentant, ou toujours en diminuant.

XOO LIVRE I.

Cela posé, il est facile de démontrer que, sous ces conditions, pour toute valeur de x il existe une limite %ûe pour le rapport des accroissements infiniment petits correspondants A et A: ; c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir que des valeurs exceptionnelles de x pour lesquelles ce rapport croisse ou décroisse indéfiniment.

En efiet, soient x^^ X deux valeurs de x satisfaisant aux conditions ci-dessus indiquées 5 y^^ Y les valeurs correspondantes de y\ partageons l'intervalle X — Xo, positif ou négatif, en n parties égales, que nous désignerons par A, et soient A^, Ar„ As,. . ., A,» les valeurs correspondantes des acci^oissements positifs de y^ on aura

A. — X^ izz: nil , X — J^o :::iz A'i -f- k^t * . . j «n >

d'où résulte

k\ k^ kn

Xa n

c'est-à-dire que le rapport invariable des accroissements

finis de x et de j^, quand on passe de x^^ à X, est la moyenne

arithmétique des rapports -^^ y? • • •» -^^ quel que soit le

nombre entier n.

Si maintenant on fait croître n indéfiniment, les termes de ces rapports tendront vers zéro •, et leur moyenne arithmétique étant toujours égale à la quantité finie — ^, 5l\

est impossible que les rapports tendent tous vers zéro, qu'ils croissent tous indéfiniment.

Cette conclusion relative à l'intervalle X — Xo, pouva: être appliquée à toute partie de cet intervalle, il s'ensixî qu'il est impossible que, dans aucun intervalle fini, 1-

valeur de t tende vers zéro ou croisse indéfiniment poi*-^

DES QUÀUTTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. lOI

toutes les valeurs de x. Ce n'est donc que pour des valeurs

h exceptionnelles et en nombre limité que t peut ne pas '

avoir une valeur finie : ce que nous voulions établir.

78. Nous avons supposé dans ce raisonnement que =r— — ' avait une valeur finie. En ne s'assujettissant pas à cette condition, voyons s'il est possible que toutes les valeurs de - tendent vers zéro ou croissent indéfiniment.

Si tous les rapports tendent vers zéro, leur moyenne y tendra nécessairement, et comme elle est constante, elle ne peut être que zéro \ donc Y — j^o = o ou Y = j^o* Et comme il en sera de même si Ton considère Tintervalle entre x^ et toute autre valeur choisie entre x^ et X, il en résulte que toutes les valeurs de y correspondant aux valeurs de x comprises entre x^ et X sont égales à ^o» La fonction désignée par y ne serait donc autre chose qu'une constante, et

h Ton voit alors que non-seulement - tendra vers zéro, mais

(pi'il sera toujours rigoureusement nul. Le lieu dont la fonction est l'ordonnée serait donc une droite parallèle à l'axe des ar, si x et j^ sont des coordonnées rectilignes.

Si maintenant tous les rapports t croissaient sans limites, les rapports réciproques -7 tendraient tous vers zéro,

et le lieu serait une droite parallèle à l'axe des y\ auquel cas tous les rapports - seraient rigoureusement nuls,

^ Ton dirait que les rapports 7 sont tous infinis.

Si donc le lieu ne renferme aucune portion de ligne ^ite parallèle à l'un des axes, il y aura une limite finie P<>Ur le rapport de l'accroissement h infiniment petit à l'ac-

croisscment correspondant A, pris à partîr d'un x quelconque entre Xo et X, à Texception peut-être de certaines valeurs particulières 5 et par conséquent en tous les points d'une courbe il existe en général une tangente.

Les cas exceptionnels où la limite de j serait nulle ou

infinie correspondraient, dans un système de coordonnées rectilignes, aux points où les tangentes seraient parallèles à Tun ou Tautre des axes ^ cela résulte de la signification

géométrique de la limite de - dans un pareil système.

Cette limite n est pas la même en général pour toutes les valeurs de x ; elle est donc une fonction de x. Or il est bon de remarquer que, si cette fonction varie par degrés infiniment petits, en même temps que x, le signe que Ton prend pour h à partir d'un x quelconque n'influe pas sur le résultat.

Supposons, en effet, qu'en prenant toujours h de même

signe, par exemple positif, la limite du rapport - soit représentée par une fonction^ (x) de Vx auquel on a donné l'accroissement A, cette fonction variant infiniment peu en même temps que x. Soit ki l'accroissement de j^, pour l'accroissement — h donné h x'^il s'agit de trouver la limite

de — î-7- Or si, à partir de x — A, on donne à la variable

l'accroissement 4- A, on revient à X'^ Vy correspondant à X — h reprenant la valeur primitive augmentera de — Aj et

le rapport — r-^ sera d'autant plus voisin def{x — h) que Jm^

sera plus petit*, il en sera donc de même de — ^—* Mais paK"

hypothèse f[^x — li) et f{x^ différent d'une quantité infi.— niment petite, si h est lui-même infiniment petite donc 1^

limite de — ^ e^\ f[x\ comme celle de -•

DES QUAIfTITÉS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. Io3

La limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants est donc indépendante du signe choisi pour A, si f{x) varie par degrés infiniment petits en même temps que x. Et il est évident qu'il en serait autrement si cette condition n'était pas remplie,

Dérwées des fonctions.