Cette limite du rapport ^ se nomme la dérivée de la

fonction j^ par rapport à x. Si cette fonction j^ est représentée par F(a:), on représente la dérivée par F'(^). Ainsi dorénavant la signification de cet accent sera définie, pour toute fonction F, par l'équation suivante :

En employant cette nouvelle dénomination, nous pouvons donc dire que le problème des tangentes est ramené à la détermination de la dérivée d'une des coordonnées par rapport à l'autre*, et que dans un système de coordonnées rectilignes le coefiicient d'inclinaison de la tangente sur Taxe des abscisses est la dérivée de l'ordonnée par rapport à l'abscisse.

Les dérivées ont beaucoup d'autres usages que la détermination des tangentes \ nous nous bornerons en ce moment à quelques remarques très-simples. Si nous représentons, pour abréger, par k l'accroissement de F(j:), correspondant à l'accroissement h donné à x, on aura

liin| = F'(x),

^^ par conséquent - diffère de F'(^) d'une quantité qui tend vers zéro en même temps que h\ la désignant par o),

io4

on aura

d'où

quel que soir le sîgne de h.

Ainsi hF'{x) ne diffère de k que d'une quantité infiniment petite par rapport k h ou k k] donc on pourra substituer AF'(a:) à k toutes les fois que k sera un des termes d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petite dont on cherchera la limite. Remarquons que hF^{x) est Taceroissement de l'ordonnée de la tangente pour raccroissement h de Tabscisse. Donc h(ù est la différence des ordonnées de la courbe et de la tangente; elle est, comme on le voit, infiniment petite par rapport à l'accroissement même de Tordonnée ] et il faut remarquer que l'ordonnée peut avoir une direction arbitraire pourvu que ce ne soit pas celle de la tangente elle-même, sans quoi F'(j:) ne serait pas une quantité finie et les formules précédentes ne subsisteraient plus. Il résulte de là une grande simplification, parce que la quantité w serait en général très-compliquée ^ et en négligeant la quantité /iw, il n'en résulte aucune erreur dans les limites des sommes ou des rapports.

80. La dérivée d'une fonction peut servir à reconnaître dans quel sens varie cette fonction à partir d'une valeax* quelconque de la variable dont elle dépend^ ce qui est sou. — vent utile. En effet, en désignant toujours par h et A: l^s accroissements correspondants de x etF(j:), nous avoi trouvé

(ù étant infiniment petit en même temps que h.

Or si F'{x) n'est pas nul pour la valeur x que Ton coi sidère, co ayant pour limite zéro finira par être constairiB.

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. Io5

ment au-dessous de F'(x) et le facteur F'(x) -H « sera de même signe que F' (a:). Donc A: sera de même signe que A, si F'{x) est positif, et de signe contraire s'il est négatif. Ainsi une fonction croit dans le même sens que la variable pour toutes les valeurs de x qui rendent sa dérivée positive, et en sens contraire pour celles qui la rendent négative.

On reconnaît encore facilement que de deux fonctions de a: celle-là croît le plus rapidement avec x dont la dérivée est algébriquement la plus grande.

En effet, soient les deux fonctions F(x), f(jc) 't k et l leurs accroissements correspondant à l'accroissement h de X'^ on aura

Ct> et (û' étant infiniment petits avec h. On tire de là

et puisque l'on suppose F\x) — f {^) différent de zéro, le second membre finira par être de même signe que

Ainsi^ en supposant F' ( x) ^f {x) , on aura k^lsihesl positif. Mais si h est négatif, on aura k<^L

Dans tout ce qui précède il s'agit de valeurs algébriques, et non de grandeurs absolues.

81 • Nous avons vu que le rapport fixe = était ton-

jours compris entre le plus petit et le plus grand des rap-

ports T 9 quelque près qu'ils soient de leurs limites, et, par

^^uséquent, que ce rapport fixe était compris entre la plus petite et la plus grande de ces limites, qui sont les diffé- '^lites valeurs que prend la dérivée F'(x) quand x passe ^ Jp« à X. Si donc la fonction F'(ar) est continue, c'est-à-

106 LIVKE 1,

dire si elle ne peut passer d'une valeur à une autre qu'eu passant par toutes les intermédiaires, il y aura entre x^ et X une certaine valeur de x qui rendra F' (x) égal à la

quantité intermédiaire — — — • Désignant cette valeur de x

par Xi^ on aura ainsi

lzill = r{^,), ou Y-ro==(X-a:.)F(ar.),

ce qui revient à dire qu'entre les points de la courbe, dont les coordonnées sont x^^ jr^ et X, Y, il en existe un où la tangente est parallèle à la corde qui joint les points extrêmes.

Rematique. — Cette formule entraîne évidemment cette proposition importante démontrée tout à l'heure, et que nous énoncerons spécialement :

Une expression dont la dérwée par rapport à x est nulle, quel que soit x, est nécessairement constante, c'est' à-dire indépendante de x.

82. L'équation - = F' [x) 4- co démontrée, quelle que soit la fonction F, peut se mettre sous la forme

M désignant une fonction finie de x et de h qui tend vers F'(ar) quand h tend vers zéro.

Si, dans cette fonction M, on changeait x en x -\- h^^ ell^ subirait un accroissement qui, d'après la proposition gêné — raie, serait de la forme M^ Aj, Mi désignant une fonction d^ x^hexhi qui reste finie, quelque petits que soient A et A| ^* Si l'on désigne par h^ l'accroissement que subit alors A:, o aura

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. lOJ

Sî de même on change x en x + h^ dans Mi, il croîtra d'une quantité de la forme M, A,, Mj étant une quantité finie dépendant de x, A, A,, /?,; désignant par A, l'accroissement de A:,, on aurait

et 1 on pourrait continuer de même indéfiniment.

Si Ton suppose que les accroissements successifs donnés à X soient égaux, on aura

et ainsi de suite indéfiniment.

On arriverait ainsi à cette proposition générale :

Un accroissement d'un ordre quelconque d'une fonction, correspondant à un accroissement constant à chaque opération, et infiniment petit du premier ordre^ de la variable dont elle dépend^ est un infiniment petit d'un ordre égal au nombre de ces opérations.

83. Ces accroissements de différents ordres peuvent facilement être représentés géométriquement par la considéralion de la courbe dont x ely seraient les coordonnées.

Soient M (fig- 29) un quelconque de ces points,

M', M'', M''', ... les points de la courbe correspondant aux points P', P'^ V" En prolongeant la corde MM'

jusqu'à TordMinée suivante en I, on aurait, en menant

MH, M'H', . . . parallèles à AX,

Maïs M'^H' n'est autre chose que l'accroissement de y en parlant de x -f- A^ donc il est ce que devient k quand on y change x en j: -h A, et, par conséquent, M"H' — M'H ou

lo8 LIVRE I.

— IM'' sera raccroissement de A, que nous avons désigné par A^i .

Si Ton prolongeait maintenant M'M'' jusqu'à l'ordonnée suivante, on aurait une ligne correspondant à IM'', qui serait la valeur de Aj, dans laquelle on changerait x en X + h^ puisqu'on ferait les mêmes opérations en partant de M' que l'on avait faites en partant de M. On aurait donc l'accroissement de k^ ou h^^ en retranchant ces deux lignes, en les affectant du signe convenable, et l'on formerait ainsi les accroissements des divers ordres successifs.

On pourrait prendre une autre représentation géométrique d'une fonction et de ses différences successives A, Al, A:,, . . . : par exemple, supposer que x représente la longueur de l'arc d'une courbe et y le rayon vecteur cor-t respondant, ou l'inclinaison de la tangente, ou toute autre grandeur dépendant de la longueur x de l'arec on ferait croître l'arc par degrés égaux entre eux, et l'on considérerait les valeurs correspondantes dej^, sur lesquelles on ferait les opérations que nous venons d'indiquer dans le système de coordonnées rectilignes ^ mais les représentations géométriques seraient beaucoup moins simples.

Du problème réciproque,

84. Dans ce qui précède, nous avons supposé que tous les points d'une courbe étaient donnés, soit par une équation, soit par un mode quelconque de génération, et nous nous proposions de trouver la tangente en un quelconque de ces points. On pourrait réciproquement se donner l'équation générale ou un mode de génération de toutes les tangentes à une courbe inconnue, et se proposer de déterminer le point de la courbe qui se trouve sur une quelconque de ces tangentes. Ce problème inverse se résoudra au moyen de la remarque suivante.

Le point de contact d'une tangente à une courbe quelconque est la limite de son point de rencontre avec une tangente infiniment voisine.

Soient, en efiet, TMT' {fig- 3o) une tangente fixe, M son point de contact, M' un point de la courbe, infiniment voisin de M, UM' la tangente en M' et I son point de rencontre avec T'T. La corde MM' tend vers zéro lorsque M' tend vers sa limite M, et c'est le plus grand côté du triangle MIM'; car, d'après la définition de la tangente, la sécante MM' tendant vers zéro fait avec la tangente en M ou M' un angle dont la limite est zéro ; l'angle I opposé à MM' tend donc vers les deux droits, et le côté MM', opposé au plus grand angle, est le plus grand du triangle. La distance IM, plus petite que MM', tend donc vers zéro; et, par conséquent, lé point fixe M est la limite du point de rencontre I de la tangente en M avec une tangente infiniment voisine.

De la résulte la solution du problème, qui consiste à déduire tous les points d'une courbe de la connaissance de toutes ses tangentes. Pour cela, on considérera l'une quelconque de ces dernières, et l'on cherchera sa rencontre avec une tangente voisine d'après les équations connues de ces lignes, ou d'après la loi donnée de leur construction -, on déterminera la limite de ce point lorsque la seconde tangente s'approche indéfiniment de la première : on connaîtra ainsi le point de la courbe qui se trouve sur une tangente quelconque. Le problème revient ensuite à une recherche ordinaire de lieu géométrique.

Il est bien certain que, si l'on admet qu'il y ait une courbe tangente au système des lignes données, on la trouvera par le procédé que nous venons d'indiquer 5 mais^ si l'existence de cette courbe n'était pas admise, il est facile de reconnaître que celle que l'on obtient sera effectivement tangente à toutes les droites du système qui auront des points communs avec elle. En effet, considérons deux de ces droites

XIO LIVRE I.

telles, que dans le passage continu de Tune à l'autre chacune rencontre toujours celle qui suit, quelque voisine qu'elle en soit , faisons passer une courbe par tous les points de rencontre successifs de chacune d'elles et de celle qui la suit à un intervalle infiniment petit. Cela peut se faire d'une infinité de manières : il sujO^a que la forme d'équation choisie renferme assez de constantes indéterminées. Or chaque droite est coupée par celle qui la précède et par celle qui la suit en deux points qui sont d'autant plus près du point du lieu limite que les droites sont plus voisines; la distance de ces deux points ou la corde interceptée pai* la droite dans la courbe variable peut donc devenir moindre que toute grandeur donnée, et, par conséquent, les droites du système sont aussi voisines qu'on voudra d'être tangentes à la courbe variable. Donc, enfin, la limite de cette dernière, ou le lieu des points limites, est tangent à toutes les droites.

Cette proposition est un cas particulier d'une plus générale que nous traiterons avec plus de détail par la suite.

DES QUAIfTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 1 1 I