TP — '^ —IX
La sous-tangente est donc double de l'abscisse du point d^ contact \ ce qui donne une construction très-simple de ï -^ tangente.
Si au lieu de la sous-tangente on cherche l'angle MTXT ^ on aura
tangMTX=:lim-==^;
de sorte que, si l'on prend PN = /?, l'angle cherché sera, égal à PMN \ la tangente sera donc perpendiculaire à MN. Cette dernière ligne est donc la normale, et la sous-normale est constante et égale à ^ ^ ce qui donne une construction simple de la normale et, par suite, de la tangente.
86. Supposons maintenant la parabole rapportée à sa directrice et son foyer F. Les coordonnées seront un rayon vecteur et une abscisse, et l'équation sera
On aura alors k = A, et en prenant deux quantités égales quelconques PH, MQ, puis élevant en H et Q des perpendiculaires à AX, FQ, on aura un point S de la tangente. Onvoit que la ligne MS partage en deux parties égales l'angle de FQ avec une parallèle MI à l'axe, vu l'égalité des deuic triangles SMQ, SMI. Cette propriété donne une autre construction fort simple de la tangente.
87. Ellipse et hyperbole, — L'ellipse rapportée à ses axes a pour équation
Pour avoir la limite du rapport -> on remplacera or et j
p3r a: -f- A, j^ -f- A^, et, en retranchant les deux équations, on aura
ià}yk -f- a'^»-f- ih^xh -f- b^h^z= o,
et, en divisant par A,
Prenant les limites de tous les termes, on aura, d'après le principe fondamental des limites.
où
T.a^X Km Y -f- 2 b^x z=z o ; h
lim - = — - = tang»,
^ désignant l'angle de la tangente avec Taxe des x.
Le même calcul, fait en partant de l'équation de l'hyper- *>ole à} y — i'x* = — û'i*, donnerait évidemment
h'^x tan£[b> r= — — -•
S8. Considérons maintenant l'ellipse rapportée à ses deux ^^yers 5 son équation sera
^^ l'on aura
Si donc on prend sur FM prolongé {fig» Zi) une quan- ^ité arbitraire MH; que de M vers F' on prenne une quan- ^té égale MK^ qu'en H et K on élève des perpendiculaires * FlVl, F' M, et qu'on joigne leur point de rencontre S au P^ixit M, on aura la tangente à l'ellipse. Il est évident
Caleulinf. D. -^ U 8
Il4 LIVRE I.
qu'elle partage l'angle HMF' des rayons vecteurs en deux parties égales.
S'il s'agissait d'une hyperbole, on aurait
on devrait donc alors porter au delà de M une longueur MK' = MH et élever en H et R' des perpendiculaires aux rayons vecteurs, puis joindre leur point de rencontre S' au point donné M, et l'on aurait la tangente. On voit qu'elle divise l'angle HMK' en deux parties égales.
89. Exemple des coordonnées angulaires, — Considérons maintenant le système des coordonnées où un point M [fis- ^^) ^^^ déterminé par les angles a, 6, que les droites menées de ce point à deux points fixes A, B forment avec AB, et prenons l'équation simple
qui représente un segment capable du supplément de a, et décrit sur la corde AB. On aura alors
et l'on devra prendre (n° 74) deux longueurs MP, Ml
„ MP sina MB . ,,
telles, que •— - = -:— - = — — ? et construire sur elles un pa- ' ^ MI sinS MA *
rallélogramme MPSI^ la diagonale MS sera la tangente. Or les deux triangles AMB, MIS, ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables : d'où il suit que Tangle IMS est égal à a, et que MSI ou TMA est égal à 6.
La tangente fait donc avec chacun des côtés MA, MB un angle égal à celui que l'autre fait avec la base AB, conune cela est évident par la mesure des angles.
