Spirale d*Archimède. — Soient OX [fig* 34) la

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. Il5

direction à partir de laquelle on compte les angles 0 ; O le pôle, M un point quelconque de la courbe, OM = r, et a une ligne donnée; Tëquation de cette courbe est

l'angle OMT de la tangente avec OM est donné par la formule générale

tango» = T lim - •

Or, d'après l'équation de la spirale, on a

k-=^ ah\ donc, 0) étant 0M1\

tangOMT=:- — 0.

Si l'on mène la normale MN et la perpendiculaire NOT à OM, les lignes OT, ON sont, dans le système des coordonnées polaires, la sous-tangente et la sous-normale : dans le cas actuel, on aura

OT = r tangOMT = r 6, ON = -— - = a.

La sous-normale est donc constante, ce qui donne une construction bien simple de la normale et, par suite, de la tangente.

Le rayon vecteur OM augmentant indéfiniment avec 0, et ON restant constant, l'angle OMN tend vers zéro; le rayon vecteur tend donc indéfiniment à être perpendiculaire à la tangente^ sans le devenir jamais.

Archimède, au lieu de la sous-normale, avait cherché la sous-tangente; il avait démontré que sa longueur était égale à l'arc de cercle MR décrit de O comme centre avec OM pour rayon, et termiaé à l'axe OX, ce qui n'est autre chose que r9, comme nous l'avons trouvé.

Il6 LITRE I.

91 . Spirale logarithmique, — L'équation de cette spirale est, en désignant par m une ligne donnée, p^u* a un nombre que nous supposerons plus grand que Funité,

r = ma^.

En considérant les valeurs négatives de 0 comme devant être portées en sens contraire des positives, on a une infinité de spires convergeant vers le point A [fig* 35), qu'on nomme pour cela asymptotique. Les valeurs positives de 9 donnent une infinité de spires qui s'agrandissent indéfiniment. Pour avoir l'angle AMT de la tangente avec le rayon vecteur AM, il faut chercher la limite du rapport des accroissements A et A de r et 0, et diviser r par cette limite.

Or on a

et nous avons fait voir (n** 36) que la limite d'une expression de la forme j lorsque u tend vers zéro, est r-^*

u ^ ^ log^

Il en résulte que lim — - — = — ^ = la, en désignant par la caractéristique / les logarithmes pris dans la base de

Néper-, et, par conséquent, lim - == ma^la.

On aura donc

tangAMT =

Ainsi tous les rayons partant de A sont également inclinés sur la spirale.

Exemple où l'on n'emploie pas l'équation de la courbe —

92. Cjcloïde. — D'après la génération de cette courbe--sr nous avons vu (n° 37) qu'il fallait, pour en avoir un poin

DES QVAIÎTITÉS ^lONSIDÉRÉES COMHE LIMITES. 1 17

quelconque M (fig- 1 1), prendre à partir de son origine A une longueur arbitraire AT, tracer le cercle générateur tangent en T à l'axe AB et prendre l'arc TM égal à AT. Ces deux lignes AT et TM constituent bien un système de coordonnées, dans le sens le plus général du mot, et Téquatîon de la courbe serait TM = AT ^ mais les équations seraient si compliquées en l'employant pour d'autres courbes que nous n'avons pas du le considérer dans les méthodes générales exposées précédemment.

Nous avons vu encore que, pour passer du point M à un autre point M', il suffisait de prendre sur le cercle TM un arc MI, mener par I une parallèle à AB et prendre IM' = MI.

Cela posé, menons les cordes MI, MM' \ la tangente en M à la cycloïde sera la limite de la direction MM', et la limite de la direction MI sera la tangente au cercle TM. Mais, dans le triangle MIM', le rapport des sinus des angles

en M, M' est celui des côtés MI, IM' ou rrjrr -, et la limite

de ce dernier ne sera pas changée si l'on remplace la corde MI par l'arc de cercle sous-tendu, dont le rapport à la

corde a pour limite l'unité. Mais — — - = i : donc la limite ^ arc MI

du rapport des sinus de M et M' est i, et par conséquent les limites des sinus sont égales \ et comme l'angle I de ce triangle a pour limite celui de la tangente en M au cercle avec MS, il en résulte que les limites des deux angles M, M' sont égales à la moitié du supplément de ce dernier, ou à l'angle UMQ. Donc MU est la tangeAte, et MT' la normale.

93. Conchoïde. — Supposons que d'un point donné A ijîg' 36] on mène à un point quelconque M d'une courbe donnée une droile sur laquelle on porte une longueur con-

^ f 18 LIVHE I.

stante MN, on formera une nouvelle courbe^ on propose de lui mener la tangente NU en un point quelconque N, connaissant la tangente MT au point correspondant M de la première.

Soient M', N' deux points correspondants des deux courbes, infiniment voisins de M et N 5 il s'agît d'avoir la limite de la direction de la droite NN'-, décrivons de A comme centre les arcs MH, NK ^ comme M' N' = MN, on aura HM' = KN'. Dans les triangles rectilignes M M' H, NN'K, les angles H, K ont pour limites des angles droits^ Tangle M' a pour limite TMA, N' a pour limite DNA, et c'est ce dernier qu'il faut déterminer.

Or on a

sinN^ NR sin M^ MH 'smN""~KN'' sînM""HM'' d'où

sinN smM et passant aux limites,

tangUNA : tangTMA : : AN : AM.

Connaissant tangUNA, on construira facilement la tangente NU.

Lorsque la courbe donnée se réduit à une ligne droite XY, la seconde devient ce qu'on appelle conclioïde, imaginée par Nicomède pour la construction du problème des deux moyennes proportionnelles. Dans ce cas, l'angle TMA

ifig' 37) est XMA, et sa tangente est t^rrr' ^^ étant perpendiculaire sur XY. La proportion précédente devient alors

AB

tangUNA : — :: AN : AM :: aq: ab;

d'où

tangUNA = ^.

Si donc on prend BE = AQ, BME sera l'angle cherché UNA.

. Cjssoïde. — Soient AB [fig. 38) le diamètre d'un cercle donné 5 BU sa tangente en B \ A V une sécante quelconque partant de A-, M son point de rencontre avec le cercle. Si l'on prend VK = AM, le lieu des points N est la cjrssoïde de Diodes, que ce géomètre d'Alexandrie imagina encore pour le problème des deux moyennes.

Soit la sécante infiniment voisine AM'N'V'5 NN' sera la sécante à la cyssoïde, et sa limite sera la tangente cherchée.

Décrivons de A comme centre les arcs de cercle M'H, NI, VK; le point, en passant en N', se sera éloigné de A de la quantité KV-h MH, puisqu'on porte, à partir de l'extrémité V, qui s'est éloignée de la quantité de KV, une longueur moindre que AM de MH.

Dans le triangle rectiligne NIN' l'angle I tend vers un angle droit, et par conséquent les deux autres N, N' vers des limites complémentaires ', il en sera de même dans les triangles MM'H, NN'I, en H et K. Or on a

sin W IN^ __ HM -f- KV^ HM m^ U'R __ MH AM\ sinN'"~lN~"' ÏS ' 1n"~"M'H' IN ""MU AN'

KV KV KV KV AV

IN KV IN KV AN

Considérons maintenant les triangles rectilignes M'HM, K.VV', et représentons leurs angles par la seule lettre du Sommet^ on aura

HM sinM^ KV mdV M' H "~ sIdM"' KV "" sinV *

laO LIVRE !•

Cela posé, désignons par w la limite de l'angle N', ou l'angle de la tangente de la cyssoxde avec son rayon vecteur AN, et par 0 l'angle MAB^ nous trouverons immédiatement, en passant aux limites,

AM , AV , (AM-4-AV) MB cot«=—taDge-f— tangos AN Âm'

ce qui se construira facilement.

95. Quadratrice. — Soient A [fig- Sg) le centre d'un cercle, CB un quadrant. Supposons un rayon qui se meuve uniformément de AB en AC, et une ligne qui se meuve parallèlement à AB d'un mouvement uniforme, en partant de cette première position en même temps que le rayon mobile et arrivant en même temps que lui en C ^ les intersections successives de ces deux lignes mobiles forment un lieu qu'on nomme la quadratrice : elle porte le nom de Dinostrate, soit que ce géomètre l'ait imaginée, soit seulement qu'il l'ait appliquée à la quadrature du cercle.

Cela posé, proposons-nous de mener la tangente en un point quelconque M d^e cette courbe. Soit M' un point infiniment voisin de la même courbe -, il s'agit de trouver la limite de la direction MM', ou la limite de l'angle M'MP. Abaissons M'I perpendiculaire sur MP. D'après la loi du mouvement angulaire de AN, et du mouvement de translation de PM, on aura la proportion

M' AM : - :: P'p : AC : : m'i : ac.

Or

M'Ir^M'MsinM'MI,

Tif/i»T .--sinM'AM-