M'M = AM

smAM'M '

donc

M^'l AMsinM^MI

sinM'AM ~" sinAM'M

Prenons les limites des deux membres. On pourra, sans

changer celle du premier, remplacer le sinus par Tangle,

et, d'après la première proportion, on trouve pour résul-

* 2AC tat •

Désignons par w la limite de l'angle M' MI, celle de AM'M sera PMN — w, et Ton aura

sinu 2AG

sin(PMN — «) ttAM

Cette équation donne immédiatement la valeur de tang&) ^ mais elle fournit aussi une construction simple de la tangente, puisque cette ligne divise Tangle connu PMN en deux parties dont le rapport des sinus est connu et égal à celui du cercle au quart de sa circonférence. Il suffit de déterminer un point de cet angle tel, que le rapport des perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux côtés de l'angle soit celui de deux lignes données, ce qui n'oflre aucune difficulté.

La solution de ce problème dépend, comme on le voit, du rapport de la circonférence au diamètre, ou de la quadrature du cercle.

Lorsque le rayon AN a décrit un angle droit, il est évident que le point M se trouve en C^ l'angle PMN devient droit et l'équation ci-<lessus devient

tangu = -9

ce qui donne la direction de la tangente en G.

Si l'on voulait connaître la position de M au moment du départ, où les deux droites mobiles se confondent avec AB,

il faudrait chercher la limite de AM quand l'angle NAB tendrait vers zéro. Or on a, pour un point quelconque du lieu, en désignant l'angle NAB par 9 et AM par r,