AC
sinO
La limite de r est donc - — ; et, portant cette valeur de A en S, le point S appartiendra à la quadratrîce.
Exemples de la détermination des points d'une courbe
par ses tangentes.
96. P' Exemple. — On donne deux points fixes B, C {Jig'4^) sur deux droites indéfinies AX, AY. Une droite MN se meut de manière que l'on ait constamment la proportion BM : MA :: AN : NC. Trouver la courbe à laquelle elle est constamment tangente.
Pour cela on cherchera :
1° La limite du point de rencontre d'une quelconque de ces droites avec les droites infiniment voisines ^
2° Le lieu de ces points limites, pour toutes les positions deMN.
1° Soient
AC=:a, AB=b, A]S = w, AM = »'; on aura, pour toutes les positions de MN,
b — çiç II u: a — ££, d'où at^ '\- bu = ab^ et pour la position M'N' on aura
d'où résulte
t.NN'— «M'M = o ou --— -T-z=->
KN' a
DES QUANTITÉS CONSIDÉHéES COMME LIMITES. 123
et le point O', limite de O, sera déterminé par la limite du
MO rapport — .
Si par M' on mène une droite M'I parallèle à AX, la
limite de —- sera précisément la même que celle de p-:j^ ou
Yyj^ î et Ton aura cette suite d'égalités
J[0 Ma M'I M^M« h
ON "■ NN' "^ iTM* nF" "" JT'ût' donc
MO^ bu NO' '~^'
a® Les coordonnées a:, y du point O' ainsi déterminé satisferont aux proportions suivantes :
xlu — xl'.bulav
et
9 — X',Xl\JClu — .r, ou tt J -f- par = «p.
Eliminant u et u entre ces deux équations et la première ai^ + iu = ai, on trouve pour équation du lieu
( ajr — bx — aby =z ^ab'x ou
(ax — bxf — la^by — 'xab'^x H- a^b^ = o,
ce qui détermine une parabole tangente en B et C aux deux droites AY, AX.
97. H" Exemple. — Une droite mobile NN coupe deux droites fixes AX, AYde telle sorte, que AM-f- AN soit égale à une constante a. Trouver la courbe à laquelle elle est <^onstamment tangente.
Si l'on pose AN = u, AM = v^ la condition donnée sera
124 LIYBE I.
exprimée par réquation
La droite MN est donc déterminée par une équation qui n'est qu'un cais particulier de la précédente, et correspond à i = a.
La solution de la question proposée s'obtiendra donc en faisant b = a dans celle de la précédente, ce qui donnera
98. IIP Exemple. — La droite MN {fig- 4i) se meut de telle sorte, que le triangle AMN, qu'elle détermine par ses intersections avec les lignes données AX, AY, ait une aire constante; on demande la courbe à laquelle elle est constamment tangente.
Pour cela, il faudra d'abord déterminer la limite I du point où cette droite, dans une quelconque de ses positions, est rencontrée par une droite qui s'en approcbe indéfiniment, en satisfaisant constamment à la condition de l'aire invariable; et ce point I étant connu, pour une position quelconque de MN, on cherchera le lieu de ces points pour toutes les positions de cette droite.
i** Soit O l'iùtersection de la droite MN par une autre infiniment voisine M'N'.
Les deux triangles MOM', NON' seront équivalents, et comme ils ont l'angle égal O, on aura
MO.M'0=:NO.N'0, et passant à la limite,
Le point I est donc le milieu de MN.
2° Pour avoir le lieu des points I relatifs à toutes les positions que prend MN, en supposant que le triangle AMN
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. laS
soit constant, ou que Ton aît AM. AN = m*, soient x, y les coordonnées de I, on aura
AM = 2j^, AN = 2x, et par suite
^xy -==. /w* ou xy = -7—
Le lieu est donc une hyperbole ayant pour asymptotes AX, AY.
99. rV* Exemple. — Une droite MN [fig^ 4^ ), qui a une longueur constante m,^ se meut de manière que ses extrémités restent sur les côtés d'un angle droit YAX^ on demande la courbe à laquelle elle est toujours tangente.
Soit M'N' une position infiniment voisine de MN, ces
lignes se coupent en O, et il s'agit de trouver la limite I de
ce point. On la connaîtra si l'on détermine la limite du
