MO . IM

rapport rr= > qui ne sera autre que — •

Si de O, comme centre, on décrit les arcs de cercle M'H, NK, on aura MH = KN', puisque M'N' = MN5 et

comme le rapport jrrz a évidemment la même limite que

-— » il suffit de connaître cette dernière, qui est la même,

d'après les triangles semblables, que celle du rapport des cordes M'H, NK. Or ce dernier est facile à obtenir au moyen des triangles rectilignes infiniment petits MM' H, NN'K. Si Ton désigne leurs angles par la lettre du sommet, on aura

M^H sinM NK __ sinTT MH "~ sin M' ' KN' "" sidN"' d'où

sin M sin N'

M'H:NK::

sin M' ' sinN

Mais les angles H et K ayant pour limite des angles droits, les limites des angles aigus sont complémentaires. Ainsi la limite de M^ est le complément de M 5 d'ailleurs la limite de N' est MNA : donc la limite de N sera complément de MNA. De sorte qu'en égalant les limites des rapports de la dernière proportion, on aura

,. M' H tangM

"°ï —-—- = ^r;r— - = tang'M ;

NK tangMNA ^

donc

MI ân'

Ceci donne une construction facile du point I; car' si l'on abaisse de A une perpendiculaire AP sur MN, le rapport

des deux segments NP, PM étant — j sera égal à ===- et ,