AN AM

MI = 9 NI=: î

d'où il est facile de déduire les coordonnées x, jr du point M, car on a

r MI X m

donc

AN m ' AM m '

an' am'

m^ ni*

et l'on aura Téquation entre a:, jr en éliminant AM, AN

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. lHy

entre ces deux équations et la suivante AM -f- AN = m*. On trouve immédiatement

qui est Péquation du lieu demandé.

100. Ilpeut se faire que les considérations géométriques soient moins commodes que le calcul algébrique, et voici la marche qu'il faut suivre alors.

L'équation générale des droites données reniërme un paramètre qui change de Tune à l'autre. Soit a ce paramètre; cette équation sera donc de la forme

F et y désignant des fonctions connues.

Changeant a en a + A, on aura Téquation d'une droite voisine, qui sera

l'abscisse du point de rencontre sera donc donnée par l'équation suivante :

Il faut maintenant faire tendre h vers zéro et chercher la limite de X] ce sera l'abscisse du point cherché, et l'équation de la droite fera connaître par suite l'ordonnée.

Mais si on laissait l'équation sous cette forme, elle n'apprendrait rien en prenant les limites de ses deux membres, puisqu'on ne trouverait autre chose que o == o. Le plus ordinairement il est facile de voir les réductions qui s'opèrent par les soustractions indiquées, et l'on reconnaît un facteur commun h à tous les termes 5 en le supprimant et passant aux limites des deux membres, on obtient alors la

128 LIY1LE I.

valeur limite de x \ mais rien n est plus facile que de formuler le résultat en général. En effet, si Ton divise par h tous les termes de la dernière équation, et qu on prenne ensuite les limites, on trouvera, d'après la définition et la notation des dérivées des fonctions

Cette équation, jointe à la première j^ = xY[a) -l-y(«)î détermine les deux coordonnées du point du lieu, et l'équation du lieu lui-même résultera de l'élimination de a entre ces deux équations. Si, pour la facilité des calculs, on ne réduisait pas à l'unité le coefficient de y^ on aurait trois fonctions de a au lieu de deux, et l'on procéderait d'une manière tout à fait semblable.

Prenons, par exemple, le cas traité précédemment, où les droites mobiles jouissent de la propriété de déterminer sur les côtés d'un triangle YAX des segments dont la somme soit égale à une constante a.

Si l'on désigne par a le segment de l'axe des x, l'autre sera a — a, et l'équation générale des droites

OLy -\- {a — ol)x = a{a — a) ;

cbangeant a en a H- A, il vient ^ en retranchant les deux équations membre à membre,

jrh — xk = ah — 2a^ — ^%

ou, en divisant par ^,

jr — x=i a — 2« — hm

Cette équation, conjointement avec la première, détermine le point de rencontre qui varie avec h. On aura sa limite en supposant h = o\ ce qui réduit la seconde équation à

et ron voit que c'est comme si l'on avait pris les dérivées par rapport à a dans tous les termes de la première.

L'élimination du paramètre a entre ces deux équations donne l'équation suivante :

qui est celle du lieu, et qui coïncide avec celle qui a été trouvée dans le second exemple. Nous généraliserons ces théories par la suite ^ nous nous écarterions de notre objet en nous y arrêtant plus longtemps.

Caleuiinf. D. —1. <)

l3o LIVRE I.