DES SURFACES COURBES

101 . Longueur des courbes. — La notion de longneur est une de celles qui ne sont pas susceptibles de définition; mais, comme nous avons déjà eu plusieurs fois occasion de le dire, ce qu'il est toujours indispensable de définir, c'est l'égalité et l'addition des quantités que l'on considère, sans quoi elles ne pourraient donner lieu à aucune comparaison ni à aucun raisonnement précis.

L'égalité en Géométrie se définit par la possibilité de la coïncidence. H n'y a donc aucune difficulté à se faire idée de droites égales ou d'arcs égaux dans des cercles de même rayon. L'addition se faisant en portant les lignes à la suite les unes des autres dans des directions arbitraires, on conçoit ce que c'est qu'une ligne brisée double, triple d'une autre, et en général dans un rapport quelconque avec une autre ligne droite ou brisée. Il en est de même pour les arcs de cercles de même rayon, comparés entre eux.

Mais quand il s'agit de lignes courbes quelconques, l'égalité ne peut plus exister, la superposition étant impossible; il peut tout au plus y avoir équivalence. Maïs qu'est-ce qui deux arcs équivalents ? et en particulier qu'est-ce que 1 longueur d'un arc de courbe rapportée à une ligne droite La définition générale au moyen de laquelle la notion d longueur est ramenée au cas de la ligne droite est la suivante :

La longueur d'un arc de courbe est la limite vers

DES QUANTITÉS CONSII»èaÉ£S COMME LIMITES. l3l

quelle tend le périmètre d'un polygone inscrit dans cet arc, et dont les côtés tendent indéfiniment vers zéro.

Mais il faut démontrer que cette limite existe et est unique, quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés de ce polygone tendent v^rs zéro. Nous pouvons supposer que l'arc soit convexe dans toute son étendue, c'est-à-dire ne puisse être coupé par une droite en plus de deux points. S'il en était autrement, on le partagerait en plusieurs parties séparément convexes :'il en sera de même des polygones inscrits. Cette condition n'est nullement indispensable, mais elle facilite les raisonnements.

Gela posé, concevons d'abord qu'il y ait deux cordes égales inscrites dans Taxe convexe que l'on considère ; puis inscrivons-en deux égales dans chacune des deux subdivisions de cet arc, et de même deux égales dans chacune des nouvelles subdivisions, et ainsi de suite indéfiniment, de sorte que le nombre des côtés soit exprimé par la formule 2"^ n croissant indéfiniment. Le périmètre croîtra constamment et, comme on peut facilement assigner une quantité finie audessous de laquelle il reste toujours, il tendra évidemment vers une certaine limite. Il reste à démontrer que tout autre mode de division de l'arc conduirait à la même limite.

Considérons, en effet, deux polygones inscrits ayant les côtés extrêmement petits, l'un appartenant à la série que nous venons de désigner, et le second correspondant à toute autre loi d'inscription; menons des ordonnées par tous les sommets de l'un et de l'autre : les deux périmètres seront partagés par ces ordonnées en un même nombre de parties, et celles qui seront comprises entre deux ordonnées consécutives auront un rapport d'autant plus près de l'unité que les côtés seront plus petits; car leurs directions diiléreront infiniment peu de celle de la tangente voisine. D'où il suit que le rapport des deux périmètres tend indéfiniment vers l'unité à mesure que les côtés tendent vers zéiro. La limite

iSa LIVRE I,

obtenue par le premier mode de division est donc la même que pour tout autre.

n est bon d'observer qu'on trouverait encore la même limite si les sommets du polygone n'étaient pas sur la courbe même, mais en étaient infiniment voisins, et que les côtés eussent toujours pour limites de leurs directions celles des tangentes aux points infiniment voisins. On pourrait encore considérer des polygones circonscrits à la courbe; on pourrait même prendre une suite de lignes séparées les unes des autres. Imaginons, par exemple, des parallèles qui coupent Tare de courbe et soient infiniment voisines les unes des autres; si par cbaque point de division on mène une tangente, la suite discontinue des portions de ces tangentes comprises entre le point de contact et la parallèle voisine aura, d'après les raisonnements précédents, la même limite que le 'périmètre inscrit. Ce procédé a été employé par Fermât. On trouverait encore bien d'autres manières de parvenir à la même limite par des sommes de lignes droites; la seule condition nécessaire est que ces sommes et les périmètres inscrits se composent d'éléments correspondants dont le rapport ait l'unité pour limite.

Remarque. — Tout polygone circonscrit à un arc de courbe cons^exe est plus grand que cet arc. Car, si entre deux points de contact consécutifs quelconques on mène une tangente, il en résultera un polygone circonscrit d'un périmètre moindre que le précédent. En agissant de même pour ce nouveau polygone, et ainsi de suite indéfiniment, le périmètre de ces polygones va toujours en diminuant et a pour limite la longueur de l'arc; donc cette longueur est moindre que celle du polygone circonscrit quelconque d'où l'on était parti. Un raisonnement analogue prouve que la longueur de l'arc est plus grande que celle de tout poly^ gone inscrit.

Il résulte de là que tout arc convexe est moindre qu'un

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ligne quelconque qui Tenveloppe, en partant des mêmes extrémités. Il suffit en effet de concevoir un polygone circonscrit au premier arc et ayant les côtés assez petits pour n'avoir aucun point commun avec le second et un polygone inscrit à celui-ci et qui enveloppe le premier. Ce dernier sera moindre que celui qui l'enveloppe, comme on le prouve dans la Géométrie élémentaire ] donc, à plus forte raison, l'arc inscrit sera moindre que l'arc circonscrit au plus grand polygone.

On verrait de la même manière qu'une courbe convexe fermée est moindre que toute ligne qui l'enveloppe.

Voici encore une remarque qui n'est pas sans utilité. Soient AB (fig* 43) un arc convexe quelconque, AC Une droite menée de l'extrémité A et ayant même projection AP sur une ligne AU. Si toutes les tangentes de A en B forment avec AU des angles aigus plus petits que CAU, la longueur AC sera plus grande que celle de l'arc AB. En effet, si l'on conçoit un polygone circonscrit à AB et dont les points de contact extrêmes soient A et B, il sera plus grand que l'arc ^ mais il sera plus petit que AC, car, si par tous les sommets on mène des parallèles à PBC, les parties de AC comprises entre ces parallèles seront plus grandes que les côtés correspondants du polygone, qui font avec AU des angles aigus plus petits : la ligne AC est donc plus grande que Tiare AB.

On verrait semblablement que, si les tangentes en tous les points de A en B font avec AU des angles aigus plus grands que CAU, la droite AC sera plus petite que l'arc AB^ car on pourrait inscrire dans l'arc un polygone dont les côtés atiraient des directions assez voisines de celle des tangentes pour que leurs angles avec AU fussent plus grands que C'AU. Ce polygone serait alors plus grand que AC, et, à plus forte raison, l'arc AB le serait aussi.

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102. Aire des surfaces courbes. — Nous appellerons aire d'une portion de surface courbe la limite vers laquelle tend celle d'un polyèdre inscrit dont les faces sont infim-ment petites dans tous les sens.

n est encore nécessaire de démontrer qae cette limite existe et est unique, quelles que soient la figure des faces du polyèdre et la loi de leur décroissement. C'est ce que nous allons faire rapidement.

Pour cela il faut admettre la notion du plan tangent à une surface. On démontre dans la Géométrie élémentaôre que toutes les tangentes à une surface, menées par un quelconque de ses points, sont dans un même plan, et, par suite, que si par ce point et deux autres infiniment voisins pris sur la surface et non en ligne droite avec lui on fait passer un plan, ce plan tend vers une limite déterminée, à mesure que les deux points variables se rapprochent du jMremier; ce plan limite, qui contient deux tangentes, et qui, par conséquent, ne diffère pas de celui qui est le lieu de toutes les tangentes, est ce qu'on nomme le plan tangent. Au reste, nous reviendrons plus tard sur ce sujet.

Gela posé, concevons deux polyèdres inscrits dont les faces aient des dimensions infiniment petites, l'un faisant partie d'une première série de faces triangulaires, Tautre d'une série arbitraire. Si par tous les côtés de ces deux polyèdres on abaisse des plans perpendiculaires sur un même plan fixe, les faces se trouveront décomposées en parties planes ayant des projections égales sur le plan fixe, et qui seront, par conséquent, entre elles en raison inverse des cosinus des angles que leurs plans forment avec le plan de projection. Mais ces plans font un très-petit angle entre eux, puisqu'ils ont des directions très- voisines de celle d'un même plan tangent, et la limite de leur angle est zéro ^ donc la limite du rapport de deux parties correspondantes quelconques des deux surfaces polyédriques est l'unité 5 donc, si

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l35

Vva^ des auLrfaces tend vers une limite, Tautre tendra vers la même.

103. Les mêmes raisonnements proureraient que l'aire d'un polyèdre circonscrit dont les faces ont des dimensions tendant vers zéro a la même limite que les polyèdres inscrits. Et il n'est pas même nécessaire qu'il y ait continuité dans sa surface ] on pourrait, par exemple, concevoir deux séries de plans parallèles infiniment voisins partageant la surface en parties infiniment petites dans tous les sens, puis, par un point pris dans chacune de ces parties, mener un plan tangent terminé aux quatre plans entre lesquels se trouve le point de contact. La surface discontinue formée par l'ensemble de ces parallélogrammes tangents aurait encore la même limite que toutes les précédentes, et l'on pourrait encore varier beaucoup la loi de ces surfaces sans ■cesser de trouver pour limite l'aire de la surface.

n suffit donc de démontrer qu'au moyen de l'un de ces procédés^ et en suivant une loi particulière, choisie à volonté, on tendrait vers une limite déterminée, pour qu'il soit établi que tout autre procédé et toute autre loi donneraient la même limite. Or c'est ce qu'il est facile de faire voir.

En effet, concevons un plan tel, qu'en y projetant la surùce donnée il ne se trouve pas deux de ses points ayant même projection, ce qui est toujours possible en partageant, s'il le faut, cette surface en plusieurs portions. Supposons ensuite une série de plans parallèles entre eux, perpendiculaires au premier et distants les uns des autres d'une quantité infiniment petite a ^ puis une seconde série de plans parallèles, distants les uns des autres d'une quantité infiniment petite S, perpendiculaires au premier plan de projection ainsi qu'à ceux de la première série. La surface se trouvera décomposée en parties dont la projection sera égale

l36 LIYBE I.

à aS ^ et si en un point d'une de ces parties on mène le plan tangent et qu'on désigne par w F angle qu'il fait avec le plan de projection, la partie de ce plan comprise entre les quatre plans infiniment voisins qui partent de la base aê aura pour

mesure • Elle sera donc égale au volume d'un parallé-

cosw ^ ^

lépipède qui aurait même base aS et pour Hauteur • Si

donc à chaque point de la surface on fait correspondre sur la même ligne projetante un point ayant pour ordonnée

z = 9 on engendrera ainsi une seconde surface dont

cos» °

la projection sera terminée au même contour. Le volume compris entre cette surface et le cylindre, qui a pour base sa projection, est, comme nous l'avons vu, la limite de la somme des parallélépipèdes zaS^ dont les bases aS sont prises dans toute l'étendue de la base du cylindre*, ce vo-

lume peut donc être représenté par Km 2 j cette somme

^ ^ ^ cosw

n'étant autre que celle qui se rapporte aux aires des parallélogrammes situés dans les plans tangents à la surface. Donc enfin celle-ci a une limite, comme nous nous proposions de le démontrer.

La définition que nous avons donnée de l'aire des surfaces courbes est donc indépendante de toute loi d'inscription ou de circonscription des faces planes, et conduit à une valeur unique et déterminée, exprimable en unités de surfaces comme les surfaces planes elles-mêmes.

Il est bon de remarquer qu'on trouverait encore la même limite si, au lieu de s'assujettir à prendre des faces planes, on prenait des surfaces courbes variables telles, que, pour les points situés sur une même ligne perpendiculaire au plan fixe de projection, les plans tangents à ces surfaces et à la proposée fissent entre eux des angles infiniment petits; car les faces planes qu'on circonscrirait à ces surfaces au-

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. lij

raient un rapport aussi près de Tunité qu'on voudrait avec les parties de ces surfaces et de la proposée, correspondant à la même projection sur le plan fixe : on trouverait donc encore la même limite pour leur somme.

Ejifîn on reconnaîtrait d'une manière analogue à ce qui a été fait pour les courbes que toute surface convexe est plus petite qu une surface qui Tenveloppe de toutes parts, ou qui l'enveloppe et est terminée au même contour.

Et de même une surface courbe est moindre qu'une surface plane ayant même projection orthogonale sur un plan, et faisant avec ce plan un angle aigu plus grand que tous ceux que font avec lui les plans tangents à la surface en tous ses points. L'inverse aurait lieu si tous ces derniers angles étaient au contraire plus grands que le premier.

104. ^rcs infiniment petits. — Un arc qui tend vers zéro finit généralement par être constamment convexe^ il est donc plus petit que la somme des tangentes menées à ses extrémités et terminées à leur point de rencontre ^ d'ailleurs il est plus grand que sa corde. Si donc on prouve que le rapport de cette corde à la somme des tangentes a pour limite l'unité, il en sera de même à plus forte raison du rapport de l'une ou de l'autre de ces deux dernières quantités à la longueur de l'arc. Or, si du point de rencontre on abaisse une perpendiculaire sur la corde, le rapport de chacun de ses segments à la tangente correspondante étant le cosinus d'un angle infiniment petit a pour limite l'unité. U en est donc de même du rapport de la corde entière à la somme des tangentes. Donc :

On peut substituer à un arc infiniment petit d'une courbe quelconque sa corde ou la somme des tangentes à ses extrémités, toutes les fois que cet arc est un terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherche la limite.

On peut encore substituer à l'arc une seule tangente k

l38 LITRE I.

une de ses ibxtrémitës, pourvu qu'elle soit terminée à une droite passant par l'autre extrémité, et faisant avec la tangente un angle fini quelconque : car cette tangente et la corde, étant les deux côtés d'un triangle, et comprenant un angle qui tend vers zéro, sont dans le rapport des sinus de deux angles finis qui tendent à être supplémentaires \ la limite de leur rapport est donc celui de deux sinus finis égaux, c'est-à-dire l'unité.

i05. ^rcs de cycloïde, — Donnons un exemple simple de l'application de ces principes, et proposons-nous de mesurer un arc de cycloïde. Nous avons vu que la tangente au point M' [Jig' II) est MU 5 soit et l'angle qu'elle fait avec DA' et MK =^. La partie de tangente comprise entre les deux ordonnées infiniment voisines MK, M'K' sera égale . MH

cosa Or on a

CCS a ■= — ' j tanga =

Pour rentrer dans les procédés employés précédemment, il faut introduire, au lieu de MH, la différence M'H de deux^ consécutifs. Le triangle MM' H donne

MH = M'HtangMM'H;

et comme la corde MM^ fait un angle infiniment petit avec la tangente, l'angle MM' H diffère infiniment peu du complément de a, fet tang MM' H de cota. Si donc on remplace MH par M' H cota, on ne l'aura altéré que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même *, il en sera donc

de même pour > et la limite de la somme ne sera pas

^ cosa ^

changée.

DES QUANTITÉS CONSIDÉEÉES COMME LIMITES. iSp

D'après les équations ci*dessus, on aura

M'Hcota = ^= ^>

qui, divisëe par cosa, donne

et l'arc, pris, par exemple, depuis le sommet D, sera la limite de la somme des expressions de cette forme dans lesquelles^ passera par degrés infiniment petits M'H, de zéro à l'ordonnée de l'extrémité de l'arc à mesurer. Supposons que M soit cette extrémité ^ on aura donc

DM = Um v/â^ 2M'H.j"S

et, d'après une formule déjà plusieurs fois appliquée, on aura, en désignant par b l'ordonnée de l'extrémité M,

DM = 2 yâo^ = 2MU.

Lorsque le point M sera en A, on aura MU = aa, et par conséquent AD = 4^) ^^ 1^ longueur de la cycloïde entière ADB sera 8a.

406. Surfaces infiniment petites. -7- Si l'on considère une surface courbe infiniment petite dans tous les sens et que, par tous les points de son contour, on mène des lignes perpendiculaires à un même plan, il yient d'être démontré que l'aire de cette portion de surface est moindre que celle de la portion du plan tangent faisant le plus grand angle aigu avf le plan de projection, et plus grande que celle du plan gent faisant le plus petit angle, ces portions de plan étant déterminées par le cylindre projetant. Or ces deux aires {danes, étant dans le rapport inverse des cosinus des angles

l4o LIVRE I.

que les deux plans tangents forment avec le plan de projection, ont pour limite de leur rapport Tunité 5 donc on peut prendre Tune ou Tautre, ou toute intermédiaire au lieu de Taire de la surface infiniment petite, pourvu qu'elle soit un terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherche la limite.

407. application à une surface de réi^olution, — On coupera cette surface par des plans infiniment voisins perpendiculaires à Taxe, et à chacune des parties comprises entre deux plans consécutifs on substituera la surface du tronc de cône engendré par la portion de tangente à la courbe génératrice, comprise entre les mêmes plans : cette substitution est permise d'après les principes précédents, parce que les plans tangents à ces deux surfaces, aux points ayant même projection, font toujours entre eux des angles infiniment petits. La surface du tronc de cône est le produit du côté par la cirè»nférence décrite par son milieu 5 mais la limite de la somme ne sera pas altérée en prenant, au lieu du milieu, le point de contact lui-même, qui en est infiniment voisin.

Si donc on désigne par A l'aire cherchée, par y l'ordonnée de la courbe génératrice, par t la partie de la tangente comprise entre deux ordonnées infiniment voisines, on

On arriverait à ce même résultat en remarquant que la surface comprise entre deux plans est plus grande que celle du tronc de cône décrit par la corde et plus petite que le tronc de cône engendré par la tangente, augmenté de la surféCe plane engendrée par le prolongement de l'ordonnée jusqu'à la tangente, surface qui est infiniment petite par rapport à la première.

Prenons pour exemple la cjcloïde tournant autour de la

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l4l

ingénie D A'. Nous avons trouvé tout à l'heure que la valeur

e T pouvait être considérée comme égale a = — > a une

uantité près infiniment petite par rapport à t *, donc on ura dans ce cas, en partant du sommet D,

/ I A=27rlim2^2â5v(r-M'H=: — ^-^ = ^îfJ ^aor»

Y désignant l'ordonnée de l'extrémité de Tare générateur.

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