MN

MN d'où il suit que -r- diffère de i^ d'une quantité qui tend vers

zéro en même temps que h, La désignant par eo, on aura

donc

MN = ^(('H- «) = pA -f-wA.

Donc, toutes les fois que MN devra être employé comme terme d'un rapport ou d'une somme, dont on n'ait à considérer que la limite, on pourra supprimer le terme coA, qui est infiniment petit par rapport à i^A, et prendre i^h comme mesure de l'espace MN parcouru dans le temps A; c'est-àdire que, dans tout mouvement varié, l'espace parcouru est le produit de la vitesse par le temps, pourvu que ce temps soit infiniment petit. Ce que nous avons nommé vitesse joue donc le même rôle dans le mouvement varié que ce que Von avait d'abord appelé vitesse dans le mouvement uni-

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forme, mais à la condition de ne considérer que des espaces infiniment petits.

Si donc on avait à calculer l'espace parcouru pendant tm temps fini par un point mobile dont on connaîtrait la vitesse en fonction du temps, il suffirait de chercher la limite de la sonmie des produits des intervalles infiniment petits dans lesquels on décomposerait ce temps, par la vitesse po- » sitive ou négative au commencement de ces intervalles respectifs 'j car ces produits ne diflFéreraient des espaces réellement parcourus dans les intervalles correspondants que de quantités infiniment petites par rapport à ces espaces mêmes.

C'est cette identité dans l'emploi de la vitesse, pourvu que les temps soient infiniment petits, qui justifie l'extension donnée au sens de ce mot, et non pas seulement le droit que l'on a en général de fixer arbitrairement le sens des mots que l'on introduit.

HO. accélération. — Pour ne pas entrer dans des détails trop spéciaux de Mécanique, nous nous bornerons ici à considérer le mouvement varié rectîligne.

Le plus simple de tous les mouvements variés est celui où la vitesse augmente toujours de quantités égales dans des intervalles de temps égaux, quels qu'ils soient. Un pareil mouvement est dit uniformément accéléré, et l'on y donne le nom spécial d'accélération à l'accroissement positif ou négatif de la vitesse dans l'unité de temps, ou au rapport d'un accroissement quelconque de la vitesse au temps employé à le produire.

Considérons maintenant un mouvement rectiligne varié, où la vitesse i^ est représentée par une fonction quelconque 9 {t) du temps. Soient h un accroissement infiniment petit donné à t^ /: l'accroissement correspondant de f^. Concevons un mouvement uniformément accéléré tel, que dans le

même intervalle de temps A il y am'ait le même accroissement de vitesse A:: 7- sera l'accélération dans ce mouvement,

ou l'accélération moyenne dans le mouvement réel considéré pendant l'intervalle h. La limite de cette accélération

moyenne t» <piî est la dérivée de i^ par rapport à «, est ce

que l'on nomme V accélération dans le mouvement donné, à l'instant que Ton considère.

111. Cela posé) t ayant pour limite ^'(t), on a, en désignant par cd une quantité infiniment petite,

d'où

Donc on peut remplacer k par h(f'[t) lorsque k est un terme d'un rapport ou d'une somme dont on considère la limite ; et, par conséquent, l'accroissement A: de la vitesse s'obtiendra comme dans le mouvement uniformément accéléré, en multipliant l'accélération par l'accroissement du temps, mais à la condition que cet accroissement sera infiniment petit.

On voit par là que l'accroissement de la vitesse dans un temps fini peut être considéré comme la limite de la somme des produits des paioies infiniment petites de cet intervalle par les accélérations correspondantes. C'est ce que Ton exprime quelquefois en disant qu'un mouvement varié quelconque peut être considéré comme composé d'une infinité de mouvements uniformément variés.

Lorsque nous avons calculé au contraire l'accroissement de l'espace parcouru, le mouvement était considéré comme composé d'une infinité de mouvements uniformes. U eût

Cale, in/, Z>.— I. 10

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été inutile, dans ce cas, de pousser T approximation plus loin dans les éléments infiniment petits^ la limite de la somme Aurait été absolument la même.

H2. Poids spécifique et densité dans les substances non homogènes, — On appelle poids spécifique d'une substance homogène son poids sous Tunité de volume, ou le rapport du poids d'un volume quelconque à ce volume. Supposons maintenant une substance non homogène, mais dont la nature varie d'une manière continue \ et nous ferons consister cette continuité en ce que, si Ton considère dans le corps deux volumes infiniment petits, égaux et infiniment voisins, le rapport du poids au volume variera infiniment peu de Tun à l'autre. Cela posé, nous appellerons poids spécifique en un point donné d'un corps non homogène la limite du rapport du poids au volume d'une partie du corps renfermant ce point, et dont toutes les dimensions tendent indéfiniment vers zéro. Cette limite sera une fonction des trois coordonnées du point. On reconnaîtra facilement, par les mêmes considérations que dans les questions précédentes, qu'un volume infiniment petit du corps aura un poids qui ne différera que d'une quantité infiniment petite, par rapport à lui-même, du produit de ce volume par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points. Cette quantité pouvant être négligée sans erreur dans les résultats des questions qui ne dépendent que des limites des sommes ou des rapports, il s'ensuit que le poids spécifique, tel que nous l'avons défini, joue le même rôle, dans le cas des corps non homogènes, que le poids spécifique défini d'abord dans les corps homogènes ; seulement, il ne faut l'appliquer qu'à des volumes infiniment petits dans tous leî sens.

Ainsi, par exemple, pour avoir le poids total du corps, il suffira de chercher la limite de la somme des produits des

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. l^J

Yolumes infiniment petits dans tous les sens, dans lesquels on décomposera le volume du corps, par le poids spécifique de la substance, en un point quelconque de la partie* correspondant respectivement à chacun de ces éléments de volume.

En substituant dans ce qui précède les masses au poids^ il faudra substituer au poids spécifique la densité, et toutes les conséquences précédentes se reproduiront si identiquement, qu il est inutile de s'y arrêter.

H3. application aux centres de gras^ité des corps non homogènes. — On suppose donnée la fonction des coordonnées qui exprimé le poids spécifique en un point quelconque. Il suffira donc de décomposer le corps en éléments infiniment petits dans tous les sens, de prendre pour poids de chacun d'eux le produit de son volume par le poids spécifique rapporté à l'un quelconque de ses points, ou à tout autre point infiniment voisin, lequel pourra aussi être pris comme s'il était le centre de gravité de l'élément lui-même. 11 résultera de là, soit dans les poids, soit dans les moments de ces éléments, des erreurs infiniment petîtes par rapport aux poids et aux moments exacts, et par conséquent la limite de la somme des poids sera le poids même du corps, et la limite de la somme des moments, par rapport à un plan quelconque, sera exactement égale au moment de la résultante. Les trois coordonnées du centre de gravité du corps seront donc encore déterminées par des limites de sommes d'infiniment petits. Seulement il faut remarquer que, dans le cas des corps homogènes, nous avons pu les décomposer en éléments infiniment petits dans deux sens seulement, tandis que les corps non homogènes doivent, en général, être décomposés en éléments infiniment petits dans tous les sens.

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