X-sinj — h coso: -h AP -4- Bh -h Ch? = o
et que dans les calculs précédents on eût négligé des termes qui en auraient amené du second ordre dans celle-ci, il y aurait erreur dans les résultats si Ton se servait de cette équation pour en tirer la valeur de A ou de A: et la substituer dans une autre. Cela tient à ce que non-seulement les quantités finies disparaissent de Téquation, mais qu'il en est de même de celles du premier ordre, et que par conséquent on ne peut en négliger du second. En efTet,
sinfx -h h) — sin j: :=: 2sin - ces [ jc-{ ) 9
cos(^ -h iv) — CCS j = — 2sm - sm I j H — J ;
donc
sinfa: 4- h) — sino: — h coso: = 2 sin - ces ( :r H — | — h cosjr.
Mais, puisque sin - et - ont pour limite de leur rapport
Tunité, leur différence est infiniment petite par rapport à Tune quelconque des deux 5 donc, en désignant par o) une quantité infiniment petite, on a
sin - m - -+- w ^, 2 2
et, d'après ce qu'on a vu dans la Trigonométrie élémentaire,
0) est du second ordre 5 de plus, cos Ix-^ — ] diffère de
cosj: d'une quantité infiniment petite du premier ordre, d'après le théorème général (n° 79) ; en la désignant par a,
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l5l
on peut poser
cos I Jî H — J = cosor -h a ;
donc
1 sm — cos i X H-
^=z h cosj? -h 2(^Acosa; -h ^a 4- 2wAa.
En en retranchant h coso:, il reste donc des produits de
deux ou de trois infiniment petits, dont le plus grand est
du second ordre. Il en serait de même de Tensemble des
trois termes
cos(/ 4- X) — cosj + Xsin/,
Le premier membre de Téquation pouvant ainsi être considéré comme composé de termes du second ordre et d'ordres supérieurs, si Ton néglige des termes du second ordre, qu'on divise ensuite par A', ou par tout autre infiniment petit du second ordre, et qu'on passe aux limites, on aura une équation fausse, puisqu'il manquera des termes finis \ et, par la même raison, on n'aurait pu l'employer à donner la valeur d'une des quantités qui y entrent.
Triangles infiniment petits,
116. i^ Supposons un triangle ABC dont les trois angles tendent vers les limites a, 6, 7 et les trois côtés a, è, c vers zéro. Les rapports des côtés auront pour limites les rapports des sinus des angles or, 6, y.
Ainsi, par exemple, on a les équations exactes
a sinA ,. a sina 0 smB 0 smS
Mais il n'y a aucun inconvénient à écrire
<z sin a , sin 2
7 =- -r—T ou azzn b -T—g j 6 smS sm§
l52 LIVRE I.
si a est un terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherche la limite : car - ayant pour limite -t—t en diffère d'une quantité infiniment petite w et Ton a
a sina b sina
-r ■=■ —, — -T -I- M ou « nr — t—z h O».
b sm6 sm6
A • • 1*1 1 • ^ sin a .
Amsi en prenant, au lieu de a, la partie — :— j-> on néglige une quantité infiniment petite par rapport à a, ce qui, dans la question supposée, ne donnera aucune erreur dans les résultats.
Or il y a souvent beaucoup d'avantages à introduire ainsi les angles limites aux angles variables, comme nous le verrons par quelques exemples.
tP Dans un triangle ABC dont l'angle A tend vers un angle droit et les côtés vers zéro, on peut calculer le côté c par la formule
au lieu de la formule exacte
à}-=z ô* -f- c' — 7.bc CCS A ;
car cosA tend vers zéro : donc 2JccosA est infiniment petit par rapport à 2 Je, et, à plus forte raison, par rapport à i*-f- c', qui est toujours plus grand que 2 Je.
Ainsi o? diffère de J* -H c* d'une quantité infiniment pe—
0} tite par rapport à lui-même \ ou encore jz ^ a pour li —
mite Puni té.
D'où il suit que , a aussi pour limite 1 unité, ains !■
que toutes les puissances de ce rapport,
On pourra donc substituer s^b^ -^c^ 2ia toutes les fois qu-^
DES QUANTITÉS COKSIDÉllÉES COMME LIMITES. l53
cette quantité sera un terme d'un rapport ou d'iuie somme dont on n'a à considérer que la limite.
117. Ordre infinitésimal de diverses lignes qu<fn a soutient à considérer dans un triangle rectangle infiniment petit.
Soient A (fig- 4^) l'angle droit du triangle ABC, dont le côté AB ou c est infiniment petit du premier ordre, ainsi que Fangle Bj AI la perpendiculaire abaissée de A sur Thypoténuse. On aura
AC = ctangB, AI = csinB, CI = csinBtangB,
et comme sinB et tang B sont du même ordre que B, puisque leur rapport à B a une limite non-seulement finie, mais encore égale à l'unité, il en résulte que AC et AI sont infiniment petits du second ordre, et IC du troisième.
Calculons maintenant la différence de l'hypoténuse au côté adjacent à l'angle infiniment petit,
2csm*—
BC — BA = -^ ^c= -^ ,
cosB cosB
et comme sin — est du premier ordre, ainsi que c, il s'ensuit que BC — BA est du troisième ordre.
Le segment CI étant aussi du troisième, on peut se proposer de trouver la limite de son rapport à BC — BA. D'après les
formules précédentes , ce rapport a pour valeur -■ 5
2 sin' —
mais la limite ne sera pas changée en substituant à chacun
de ces sinus l'arc correspondant dont le rapport à ce sinus
est l'unité^ on trouve ainsi 2 pour limite de — -jr*, de
l54 LIVRE I.
CH
sorte que, si Ton décrit de B comme centre Tare AH, -=• tend
indéfiniment vers -î et le point H peut être regardé comme
le milieu de CI, à une quantité près infiniment petite par rapport à CI. On peut donc regarder CI comme double de la différence BC — BA.
Mais si Tangle A n*était pas droit, ou ne tendait pas vers un angle droit, IH serait infiniment petit par rapport à CI, qui pourrait par conséquent être pris pour la différence BC — BA.
118. Triangle iîifiniment petit ayant un côté infiniment petit par rapport à un autre, — Soit BC {fig* 46)5 iî^fi^mcnt petit par rapport à AB \ en abaissant BI perpendicu-
BI BP
laîre sur AC, — ou sinA sera plus petit que — ^ qui, par
hypothèse, est infiniment petit-, il en sera donc de même de sin A, et, par suite, de T angle A.
Quant au rapport t-^> il a nécessairement pour limite
l'unité, puisque la différence de ses deux termes est moindre que le troisième côté BC, et que, par hypothèse, ce dernier est infiniment petit par rapport à l'un d'eux.
Corollaire. — L'angle CAB ayant pour limite zéro, iL s'ensuit que si l'un de ses côtés tend vers une direction limite, soit que A reste fixe, soit qu'il se déplace, l'autre aure» pour limite la même direction.
Et plus généralement, si par un mouvement quelconqu deux points A et B {fig» 47) se rapprochent indéfinîmen l'un de l'autre, de manière que la direction AB tende à êtr parallèle à une certaine droite fixe; que l'on considère deu"^^ points A', B', dont les distances respectives à A et B soierm-i infiniment petites par rapport à AB, la direction A'B' tei»-dra vers la même limite que AB. En effet, il a été prou%r ^
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l55
B'B que l'angle B'AB a pour limite zéro, puisque — r- est infi-
AB' niment petit 5 que de plus -— a pour limite Tunité. De là
résulte que --^ est infiniment petit, puisque, par hypo-
A'A thèse, --— -l'est^ donc l'angle A'B'A est infiniment petit; AB
donc enfin les droites A'B', AB font entre elles un angle
dont la limite est zéro, et, par conséquent, leurs directions
ont la même limite. Cette proposition a des applications
assez fréquentes.
119. Triangle ayant deux angles infiniment petits du premier ordre, — Soient A et B [fig- 48) les deux angles infiniment petits; abaissons CI perpendiculaire sur AB, vl cherchons d'abord quelle serait la limite de la position du point C, qui est la même évidemment que celle du point I, si on laissait AB invariable, pendant que les angles tendraient vers zéro.
Or on a
AI tanfçB
ÏB"" tangA' donc
lim -— - =: lim = lim — •
B tangA A
Si donc on connaît la limite dii rapport des deux angles infiniment petits du môme ordre, on aura la limite du sommet C, en partageant AB en raison inverse des angles en A et B.
Supposons maintenant que le côté AB soit lui-même iD£U nîment petit du premier ordre, et proposons-nous d'évaluer la différence entre sa longueur et la somme des deux autres côtés.
l56 LIVRE I.
Or on a
aAIsin^— aBIsin'-
AC — AI = et BC — BI=^ — ^,
cosA cosB
et la somme de ces deux différences est la différence cher^ chée. Mais chacune d'elles est un infiniment petit du troisième oi;dre au moins, puisque AI et 61 sont moindres qae
AB qui est du premier ordre, et que sin* — et sin*— sont du
second ordre. On peut même dire qu'elles sont précisément du troisième ordre toutes deux, dans le cas supposé où A et 6 sont du même ordre ^ car alors les deux segments AI et IB sont dans un rapport fini avec AB, et sont par conséquent du premier ordre. // résulte de là que la différence entre AB et AC -H CB est un infiniment petit du troisième ordre au moins.
Ou, en d'autres termes, cette différence est du même ordre que le cube de Tare.
L'ordre de cette différence s'élèverait si les angles étaient d'un ordre plus élevé que le côté^ il s'abaisserait dans le cas contraire.
120. Triangle ayant un angle infiniment petit du premier ordre, compris entre deux côtés infiniment petits du premier ordre. — Soit A [fig- 49) l'angle donné ^ la somme des deux autres a pour limite deux droits. On peut maintenant faire plusieurs suppositions sur les deux côtés donnés.
Si la limite finie de leur rapport est différente de l'unité, 1^ somme des deux angles opposés ayant pour limite deux Adits, l'un de ces angles tendra nécessairement vers zéro, Fautre vers deux droits-, car, sans cela, le rapport limite de leurs sinus serait nécessairement l'unité, contrairement à la supposition.
DES QUÂlfTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. iSy
Supposons maintenant que la limite de leur rapport soit
Tunité. Il peut alors se présenter trois cas.
■ I ^ Si leur différence est du second ordre, prenons AB'= AB-,
B'C sera du second ordre. Mais BB' est du second ordre à
cause du triangle isoscèle ABB' qui donne BB' = 2 ABsin -•,
ainsi BC sera du second ordre, et le rapport --— - a une li-
mite finie quelconque. Or T angle B' tend vers un angle droit^ donc Tangle B'BC, et par suite C, a une limite finie qui peut être quelconque et dépend du rapport deCB' à BB'.
2? Supposons que leur différence soit d'un ordre compris entre i et 2. Alors BB' étant du second ordre, B'C d'un ordre moindre, et BC le plus grand côté du triangle BB'C, comme opposé à l'angle obtus B, il s'ensuit d'abord que BC est du même ordre que B'C, et même que leur rapport a pour limite l'unité, puisque leur différence, étant moindre que BB', qui est du second ordre, est infiniment petite par
BB' rapport à ces lignes mêmes. De plus le rapport ^7^ ayant
zéro pour limite, l'angle C tendra vers zéro, et, par suite, l'angle ABC vers deux droits.
B' C 3® Soit la différence d'un ordre supérieur à 2. Alors —-7- a
BB
pour limite zéro ^ donc l'angle B'BC a pour limite zéro, et
Tangle ABC a la même limite que ABB', ou un droit : il en
est de même par suite de l'angle C.
Si l'angle A était d'un ordre quelconque m au lieu d'être du premier comme les côtés, il faudrait, dans ce qui précède, substituer H- m à 2.
Remarque. — H est bon de remarquer que dans ces trois cas, c'est-à-dire toutes les fois que le rapport des deux côtés donnés a pour limite V unité, le troisième est infini^ ment petit par rapport aux deux autres, quel que soit m.
l58 LIVRE I.
