CHAPITRE XVIII

COURBURE DES ARCS DE COURBES PLANES QUELCONQUES, ET DIVERSES PROPOSITIONS QUI S'Y RAPPORTENT.

121. La courbure d'un arc convexe est l'angle que forment entre elles les directions du premier et du dernier élément de cet arc ^ c'est l'angle des tangentes extrêmes : il exprime la quantité dont la courbe a successivement dévié de la ligne droite dans l'étendue de cet arc. Si cet angle variait proportionnellement à l'arc, on aurait la courbure, pour une unité de longueur, en divisant celle d'un arc quelconque par la longueur de cet arc.

Mais dans une courbe quelconque, si l'on divise cet angle par la longueur de l'arc, on aura seulement la courbure moyenne de cet arc, rapportée à l'unité de longueur, c'està-dire celle que l'on trouverait pour un arc égal à l'unité, si la courbure variait proportionnellement à l'arc, comme dans le cercle, et de manière à obtenir la courbure donnée pour une longueur égale à celle de l'arc dont il s'agit.

Cela posé, si, à partir d'un poînt quelconque d'une ligne courbe, on prend un arc de grandeur arbitraire, sa courbure moyenne variera à mesure que cet arc diminuera indé — uniment^ et elle tendra vers une limite déterminée, qu'on — appelle courbure de la ligne au point que l'on considère— Cette limite est, pour employer le langage reçu daîis le cal — cul infinitésimal, la courbure d'un arc infiniment petit par rapport à l'unité de longueur, cet arc commençant ai^

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. iSg

point que Ton considère. C'est une notion importante dans rétendue approfondie de la constitution d'une courbe.

122. Si Ton considère Tinclinaison <f de la tangente sur un axe fixe, comme une fonction de Tare s pris à partir d'un point fixe quelconque de la courbe, la courbure w d'un arc h n'est autre chose que l'accroissement de la fonction cp correspondant à l'accroissement h de l'arc 5 ; on a donc

M étant une quantité finie dépendant de la valeur de s relative à la première extrémité de l'arc, et de sa longueur h.

Si donc dans les deux membres on changeait ^ en ^ 4- An et qu'on désignât par Wi l'accroissement correspondant de w, on aurait

Si hi = A, on a

et il en serait de même pour les accroissements d'ordre plus élevé, comme nous l'avons vu en général pour toutes les fonctions (n*> 82).