Dans un cercle, la courbure d'un arc quelconque
s'obtiendrait en multipliant celle d'un arc égal à l'unité par
la longueur de l'arc donné. Dans une courbe quelconque,
il n'en sera plus ainsi évidemment ] mais si l'on ne considère
9^ *un arc infiniment petit, le produit de la courbure, en
^^e de ses extrémités, par sa longueur, en donnera la cour-
"^i*e à une quantité près, infiniment petite par rapport à
^**le, puisque le rapport de la courbure exacte de cet arc à
Jl ai*^ même ne diffère que d'une quantité infiniment petite
^^ la limite que nous appelons courbure en un point; de
*^ï*t.€ que, si cette courbure d'un arc infiniment petit ne doit
l6o LIVRE I.
être considérée que comme élément d'une somme dont on cherche la limite, il n'y aura aucune erreur dans le résultat; et, par conséquent, dans la recherche de la courbure d'un arc fini d'une courbe quelconque, on peut agir de la même manière que si c'était un cercle, pourvu qu'on partage cet are en parties infiniment petites, et que pour chacune d'elles on prenne pour courbure de Tunité de longueur la courbure en un quelconque de ses points.
124. Le cercle ayant une courbure constante, il est naturel de le prendre pour terme de comparaison, et de faire connaître la courbure d'une ligne en un de ses points, en donnant le rayon du cercle dont la courbure est la même. Ce cercle se nonune cercle de courbure, et son rayon, rayon de courbure. Si on le place tangentiellement à la courbe au point que Ton considère, en tournant sa concavité du même côté qu'elle, son centre, considéré relativement à ce point de la courbe, prend le nom de centre de courbure.
La courbure d'un cercle en uh de ses points, ou la courbure d'un arc de ce cercle égal à l'unité, étant le rapport de l'angle de ses tangentes extrêmes ou de ses normales extrêmes à la longueur même de cet arc, sera égale à l'unité divisée par le rayon du cercle, puisque nous appelons angle le rapport de l'arc au rayon. Il s'ensuit donc que la courbure d'une ligne quelconque, en un de ses points, est égale' à l' unité divisée par le rayon de courbure en ce point,
125. Le centre de courbure est la limite du point d& rencontre de deux normales infiniment voisines. — Soient^^ en effet, M [fig- 5o) un point quelconque d'une courbe— MT la tangente, M'N la tangente au point infiniment voisin M', O le point de rencontre des normales en M, M'. Le : quatre points M, N, M', O seront sur un cercle ayant poiL diamètre NO, dont la limite est la même que celle de MC
DES QUANTITÉS GOITSIDÉRÉES COMME LIMITES. l6l
OU M'O. L'arc de ce cercle compris entre M et M' diffère de sa corde et, par suite, de Tare MM' de la courbe, d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même ^ on pourra donc le remplacer par ce dernier, sans qu'il en résulte aucune erreur dans les limites des rapports.
Mais l'angle inscrit MOM' est égal à l'arc de cercle intercepté divisé par le diamètre : il est d'ailleurs égal à
TNML'. Donc ™^^, = ~ , Tare MNM' étant celui du
arcMNM' NO
cercle. Le remplaçant par l'arc MM' de la courbe, on aura,
en passant aux limites,
,. TNM' I I
lim
MM' lim NO lim MO
TNM' Mais lim -.--, » étant la courbure en M, est égale à runité
MM
divisée par le rayon de courbure.
On voit donc que la limite de MO est égale au rayon de courbure^ et le centre de courbure en un point quelconque est la limite du point de rencontre de la normale en ce point avec la normale infiniment voisine.
126. Les courbures des deux moitiés d'un arc infiniment petit du premier ordre ne peuvent différer que d'un infi^ Ttiment petit du second, — Car si h désigne la longueur de cet arc et co', tù" les courbures des deux moitiés, on aura
M étant une quantité finie. Mais tù" n'éunt autre chose que '^ Valeur que prend tt>' qi^ind on change, dans M, s en
* "^ -> on aura, par ce qui précède,
Cak. inf. D. — !• IX
1^2 XIVRE I.
M' étant une quantité finie. On voit donc qne les courbures des deux moitiés d'un are infiniment petit du premier ordre, ne peuvent différer que d'un infiniment petit du second ordre,
127. La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est du même ordre que le cube de l'arc, — En effet, l'arc étant compris entre la corde et la somme des tangentes extrêmes diffère de l'une ou de l'autre de ces deux quantités, moins qu'elles ne diffèrent l'une de l'autre.
Or les angles de la corde avec chacune des tangentes étant moindres que celui des tangentes entre elles, lequel est du même ordre que l'arc, sont au moins de cet ordre infinitésimal. On a donc un triangle dont un côté est infiniment petit, et les angles adjacents sont du même ordre au moins que ce côté-, d'où il suit (n° 119) que la différence de ce côté à la somme des deux autres est au moins du même ordre que le cube du côté, pu de l'arc qui est du même ordre que le côté. Il en est donc ainsi ^ à plus forte raison, de la différence de l'arc à la corde ou à la somme des tangentes. Ces différences seront du troisième ordre si l'arc est d premier.
128. La différence d'un arc infiniment petit à la tan — gente menée à l'une des extrémités de l'arc et terminée ^ l'ordonnée menée par l'autre est de l'ordre du cariée cE^ l'arc.
Soient l'arc MM' {fig» 5i), MT sa tangente terminée k l'ordonnée P'M'^ il s'agît d'évaluer l'ordre infinitésimal cle la différence entre MT et cet arc.
Remarquons d'abord en géftéral que la portion M'T r ordonnée est du second ordre; car on a la proportion
M'T sinM „ , „,^ MM'sinM
T^^i = -^-T^\ d'où M'T=: ;-— — •
MM' smT' smT
I»S qVÂlXTlTÈS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. l63
Mais nous avons vu que Tangle M est au moins du même ordre que Tare ou la corde MM', et sînT est fini ^ donc la partie M'T d'une sécante quelconque Jaisant un angle fini auec la tangente est de l'ordre du carré de MM' ou de l'arc proposé.
Si maintenant on abaisse M'I perpendiculaire sur MT, MI différera de Thypoténuse MM' d'un infiniment petit de l'ordre du cube de MM' au moins (n*^ H7) j de plus IT est de l'ordre du carré de MM', puisqu'on a
IT=3M'TcosT,
et IT, étant la différence de MT à MI, est. la différence de MT à Tare MM', en négligeant un infiniment petit de Tordre du cube de MM'; d'où il suit, comme nous l'avons annoncé, que cette dernière différence est de Tordre du carré de Tare. Elle sera donc du second ordre si Ton prend Tare du premier.
Il en serait de même pour la tangente menée au point M' et terminée à Tordonnée MP. L'une de ces tangentes est plus grande que Tare, l'autre plus petite.
