Remarque. — On peut conclure de ce qui précède

que Jes longueurs des deux normales en M, M', terminées

à leur point de rencontre O, diffèrent d'une quantité qui est

au moins du second ordre 5 car cette différence est la partie

d'une de ces normales comprise entre le point M' et le

cercle décrit de O comme centre avec OM pour rayon. Or, ce

cercle étant tangent à la courbe en M, il suffit d'appliquer

lâproposition qui vient d'être démontrée sur M'T. La diffé-

l'cnce des normales est donc au moins du second ordre.

•^ovis pourrions pousser l'appréciation plus loin.

On peut tirer de là une conclusion qui a quelquefois de utilité dans les problèmes de Géométrie : c'est qu'une

l64 LIVKE I.

courbe dont les normales passent toutes par un même point est nécessairement un cercle. En effet, en partageant un arc fini de la courbe en parties infiniment petites du premier ordre, les accroissements successifs des normales, comptées à partir du point constant de leur rencontre, seront du second ordre, et la limite du rapport de la somme de ces accroissements à la somme des arcs sera zéro. Donc r accroissement total de la normale est nul, et tous les points du lieu sont également distants du point fixe. Ce lieu est donc un cercle, dont le point fixe est le centre.

130. Considérons un arc infiniment petit a, appartenant à une courbe quelconque, dont les arcs pris à partir d'une origine fixe sont désignés par s-^ partageons-le en parties égales a, infiniment petites du second ordre, si a est regardé comme du premier-, ce qui veut dire que — tend

vers une limite finie, lorsque a tend vers zéro. Désignons par (ù la courbure d'un quelconque de ces arcs a, on aura (n^ 122)

M désignant une quantité finie.

Comparons maintenant les valeurs extrêmes w', co'' de «. Pour avoir co', il faudra, dans M, mettre pour s la valeur correspondant à la première extrémité 5 pour avoir &>^, il faudra changer s en 5 -}- A, h n'étant autre chose que a — a, et par conséquent du premier ordre. M croîtra donc d'une quantité du premier ordre, que l'on pourra désigner par Ml a, Ml restant fini 5 d'où il suit

Ainsi la différence des courbures des arcs extrême'^ est du troisième ordre.

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l65

131. Expression de la perpendiculaire abaissée d'une extrémité d'un arc infiniment petit sur la tangente menée à l'autre extrémité.

Soient OB [fig* Sa) la tangente à rextrémité O de Tare OA = a infiniment petit du premier ordre, et AB la perpendiculaire, dont nous allons clierelier l'expression en fonction de la longueur a de Tare et de sa courbure il, en nous assujettissant à ne négliger que les infiniment petits du troisième ordre. Pour cela nous décomposerons a en parties égales a infiniment petites du second ordre, dont le nombre m, croîtra indéfiniment à mesure que a tendra vers zéro.

La relation

donne

Ta a

— ^=:— ou m = ~f ma CL

de sorte que — est infiniment petit du premier ordre, et

am ou — est une quantité finie.

Cela posé, soit MN un. quelconque des arcs a qui composent OA, et correspondant à OM. = na\ formons le triangle MNI au moyen de la corde MN, de la parallèle MI à OB et de la perpendiculaire NI \ AB sera la somme des m valeurs que prendra NI quand n prendra les m valeurs o, i , 2,. . ., (m — 1)5 c*est-à-dîre que Ton aura

AB = 2MN sînimi,

cette somme se rapportant aux m arcs éganx qui composent

^A . Remarquons d'abord que si, dans l'expression générale

^ l'élément MN sinNMI, on considère un terme infini'-

^^^t petit de l'ordre p, il fournira dans la somme un

l66 UYUE I.

terme de Tordre p-^i. En effet, on peut le représenter par ka^^ k étant une quantité finie variable. La somme des ni valeurs qu'il prend est égale à la somme des facteurs aJ' multipliée par une moyenne kx entre les premiers facteurs /r, c'est-à-dire à mkiàf : ce qui est évidemment de Tordre p — i , puisque ma est une quantité finie. Procédons maintenant au calcul de la somme en question, en nÉSn^* géant dans sa valeur totale les quantités infiniment petites du troisième ordre.

Nous voyons d'abord qu'à ce degré d'approximation nous pouvons substituer Tare a à sa corde MN, car leur différence est de Tordre de a', c'est-à-dire du sixième, puisque ex. est du second^ et comme l'angle NMI est moindre que l'angle ç que la tangente en M fait avec OB, augmenté de la courbure w de MN et à plus forte raison moindre que Q qui est du premier ordre, on voit qu'en prenant a au lieu de la corde MN, on néglige dans l'expression générale de NI une quantité du septième ordre, au moins. Or, d'après la remarque précédente, elle ne pourra donner dans la somme qu'une quantité du sixième ordre : on peut donc la négliger au degré d'approximation que nous nous sommes proposé, et prendre pour valeur de AB l'expression

lot sinNMI.

On peut encore la simplifier en remplaçant sînNMI pai^ Tangle NMI; car, leur différence étant du troisième ordre^ son produit par a sera du cinquième, ce qui ne produirais! sur AB qu'une erreur du quatrième. Donc nous pouvons prendre pour NI l'expression plus simple

aNMI.

Et même nous pouvons remplacer NMI par cp dont il diffèi— d'un angle moindre que la courbure de MN, qui est du s^^ cond ordre ^ car nous négligeons ainsi dans «NMI une

DES quàhtités considérées comme limites. 167

tité du quatrième ordre qui ne pourrait affecter A6 que

d'une erreur du troisième ordre, que nous devons négliger.

Ainsi, au degré d'approximation demandé, nous pouvons

prendre

AB = 2fa«

D faut maintenant exprimer (f au moyen de Tare OM =na^ afin de pouvoir effectuer cette sommation.

Cet angle (f n*est autre chose que la somme des courbures a> des 71 premiers arcs a\ et si elles étaient toutes égales à la courbure &)' du premier, cp serait égale kn(ù^\ or il est facile de voir qu'on peut les considérer ainsi, au degré d'approximation demandé.

FéU. effet, d'après le n** 130, une quelconque des différences co — w' est un infiniment petit du troisième ordre. Ainsi la différence de ç à ww' est égale à n quantités du troisième ordre, et peut se mettre sous la forme A/za^, A étant fiai ^ or cette quantité est moindre que A ma*, qui est du second ordre, puisque ma est fini*, donc Ana^ est au moins du second ordre. En prenant donc y = tîw'. Terreur est du second ordre, et ya est en erreur d'une quantité du quatrième, qui ne produira sur la somme Scpa qu'une erreur du troisième, que nous devons négliger. Nous pouvons donc nous borner à la valeur beaucoup plus simple

AB =: 2/1 aw' r= a«' In ;

fkiais 71 passant par toutes les valeurs de o à m — i , on a

m(m — i) j,n zzz •

ÛoilC

AB = =r(/w — i)«'-.

"^-*^Î8 on peut substituer mk m — i , vu qu'il n'en résulte P^^^ AB qu'une erreur du troisième ordre : et par les mêmes

r68 LIVRE I.

raisons que precëdemment, mo)' ne diffère de la somme des eom*bures w des m arcs a que d'une quantité du second ordre. Substituant cette somme H km(ù\ il n'en résultera donc sur AB qu'une erreur du troisième ordre et, au d^ré d'approximation demandé, on aura enfin