AB

ce qui donne le théorème suivant :

La perpendiculaire abaissée d'une extrémité d'un arc infiniment petit du premier ordre, sur la tangente menée à Vautre extrémité, est égale à la moitié du produit de l'arc par sa courbure, à un infiniment petit près du troi' sième ordre.

132. L'angle formé par la corde d'un arc infiniment petit du premier ordre,, ai^ec la tangente au milieu de cet arc, est un infiniment petit du second ordre.

Soient AA' cet arc, O son milieu, et B'OB la tangente^ la corde AA' fait avec BB' un angle dont le sinus est égal à la diflFérence des perpendiculaires AB, A'B', divisée par la corde. Soient fl, Q! les courbures des deux moitiés OA, OA', on aura, d'après le numéro précédent, en désignant par 2a — la longueur de Tare A A',

et, par suite,

^^ Çia ^,^, q! a AB — — , A'B'=i ;

AB — A'B'=:(li — n')-.

Or nous avons vu (n° 122) que la différence des courbure s de deux arcs égaux consécutifs, infiniment petits du premier- t ordre, est du second 5 donc û — Q! est du second ordre e par suite, la différence AB — A'B' est du troisième : so»

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l6g

rapport AA' est donc du second. Ainsi le sinus de l'angle de AB avec la tangente au milieu O de l'arc sous-tendu est du second ordre ^ et par conséquent aussi cet angle luimême est infiniment petit du second ordre, comme nous l'avions annoncé.

133. Remarques DIVERSES. — Les perpendiculaires AB, A'B' étant du second ordre, celle qu'on abaisserait du milieu I de AA' serait aussi du second ; il en serait de même évidemment de la perpendiculaire élevée de Isur A A' et terminée à BB^, ou à la courbe, et encore de la perpendiculaire abaissée de O sur AA^

Remarquons encore que dans le triangle rectangle OAB, le côté OB et l'angle O étant du premier ordre, la différence de ni3rpoténuse OA à OB sera du troisième ordre. Donc aussi la différence de l'arc OA à OB sera du troisième ordre.

Si l'on avait en O {fig* 53) une seconde courbe tangente à la première et ayant même courbure en ce point, et que l'on prit un arc 0A| = OA, la perpendiculaire AiBj

serait, au troisième ordre près, égale à -^^ Ai étant la

courbure de l'arc OAi, dont le rapport à Î2 a l'unité pour

A B limite par hypothèse. Donc la limite du rapport ~~ est l'unité, et, par conséquent, la différence de AfBj à AB est infiniment petite par rapport à AB, et, par conséquent, d'un ordre supérieur au second.

De plus, on voit que BB| sera au moins du troisième ordre, puisque c'est la différence de OB et OBj qui diffèrent des arcs égaux OA, OAi de quantités du troisième ordre. Il en résulte que AA| est l'hypoténuse d'un triangle dont un côté est d'un ordre supérieur au second, et l'autre au moins du troisième, et, par conséquent, AAi est d'un ordre supérieur au second.

IJO LIVHE I.

Il est encore important de remarquer que la longueur d'une corde AS comprise entre deux courbe^ ayant même courbure en O, et dont la direction limite fait un angle fini avec la tangente commune en O, est d'un ordre supérieur au second. Car on a

sinAi