AS = AA

sinS'

et comme sinS reste fini, AS est au moins du même ordre que AAi.

Ainsi, par exemple, si 1-on considère le cercle de courbure d'une courbe quelconque, qu'à partir du point de cou* tact on prenne un arc infiniment petit du premier ordre, et que de son extrémité on mène une sécante faisant un angle fini avec la tangente, la partie comprise entre les deux courbes sera d'un ordre supérieur au second.

134. Si l'on mène une tangente parallèle à la corde AA', l'arc MT (Jig* 53), compris entre son point de contact T et le milieu M de l'arc, ayant pour courbure l'angle de ses tangentes extrêmes, qui est le même que celui de la corde et delà tangente au milieu, sera infiniment petit du second ordre, comme ce dernier j d'où il résulte cette proposition:

L'arc compris entre le milieu d'un arc infiniment petit du premier ordre et le point de contact de la tangente paj'allèle à la corde de cet arc est infiniment petit du second ordre.

Si sur le milieu I de la corde A A' (fig* 54 ) on élève un^ perpendiculaire, elle rencontre l'arc en un point P, égale — ment distant de A et A'. Or chacune des cordes égales AP^ A'P ne différant de l'arc qu'elle sous-tend que d'un infini* ment petit du troisième ordre, les deux arcs AP, A'P m peuvent avoir entre eux qu'une différence du même ordre Mais cette différence est le double de PM, puisque M est b

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. Ijt

milieu de Tare entier : donc MP est infiniment petit du troisième ordre.

Ainsi :

MT est infiniment petit du second ordre ;

MP est du troisième ^

et, par suite, TP est du second.

135. Si Ton joint le point I aux points M, T, et qu'on mène les cordes PM, TP, la première sera du troisième ordre et la seconde du second, comme leurs arcs respec-* tifs.

Or nous avons vu que IP est du second : donc l'angle PIIML est infiniment petit (n® H8). Mais dans le triangle TIP les côtés TP, PI étant du même ordre, le rapport des sinus des angles opposés a une iimite finie, et, par conséquent, ces deux sinus ont des limites finies ou tendent tous deux vers zéro. Or ce dernier cas ne peut arriver : car il faudrait pour cela que le troisième angle en P tendit vers deux droits ou vers zéro, ce qui n'est pas, puisque la direction TP est infiniment voisine de celle de la tangente en M, et, par conséquent de celle de AA', à laquelle IP est perpendiculaire^ donc l'angle TIP a une limite finie.

Ainsi, en joignant le milieu de la corde au milieu de l*arc et au point où la tangente est parallèle à la corde, on a deux directions, dont la première a une limite per^ pendiculaire à la corde, et la seconde oblique,

136. Les angles formés par les tangentes aux extrêmi- ^éés d'un arc infiniment petit ai^ec sa corde peui^ent être F^^gardés comme égaux et les tangentes comme égales, en F^égligeant les infiniment petits du second ordre.

Soient A A' [fig* 55) un arc infiniment petit du pre- *"îer ordre \ AV, A' V ses tangentes extrêmes, dont l'angle

"lÈ^

extérieur V mesure la courbure de l'arc AA'. La tangente menée au milîeu M de cet arc fait avec AV, A'V des angles MTV, MT' V égaux, au second ordre près, comme mesurant les courbures des arcs égaux AM, A' M (n® 126). Or ces deux angles diffèrent des angles respectifs A, A' de l'angle même des deux droites TT', AA', lequel est du second ordre. Donc, comme nous l'avions annoncé, les angles des tangentes extrêmes av^ec la corde sont égaux, à un infiniment petit près du second ordre, et donnent la mesure de la demi-'Courbure de l'arc, à ce même degré d'ap" proximation.

Cela posé, il est facile de prouver qu'il en est de mémie des côtés AV, A' V du triangle AVA'. En eflet, on a

A'V sinA AV ~ sinA''

et comme la limite de -; — -- est la même que celle de -77»

smA * A

qui est égale à l'unité, il en résulte

Il est facile d'ailleurs d'apprécier l'ordre de la diflTérence A' V — AV. En effet, l'équation précédente donne

. A — A^ A-^A^ A'V-AV sinA-sinA' ^^'"^ 2 ""^^^^T^

AV sinA' sinA'

ce qui est une quantité infiniment petite du premier ordre,

puisque est du second et sin A' du premier. Le rap-