A' V AV
port — étant du premier ordre, A'V — AVest du second.
Donc les longueurs des tangentes extrêmes sont égales, ^au second ordre près.
137. Les angles inscrits dans un segment dont l'arc est infiniment petit du premier ordre sont égaux, au second ordre près; leurs suppléments mesurent la fnoitié de la courbure de l'arc, au même degré d' approximation.
Soient l'arc AA' {fig» 55 Jw) et un angle inscrit quelconque AMA'. Si Ton mène la tangente TMT', Tangle UMA' sera partagé en deux angles, dont Tun mesure la demicourbure de A' M, et F autre celle de AM. Donc l'angle \J!in\h!peut être regardé comme constant et égala la demicourbure de AA', au second ordre près.
L'angle inscrit AMA' est donc aussi constant, au second ordre près.
138. Expression du rayon de courbure, au moyen d'in^ finiment petits du second ordre. — Considérons une courbe rapportée à un système de coordonnées rectangles j:, y^ que nous regarderons comme fonctions d'une même variable indépendante t. Désignons par A, /r, / les accroissements infiniment petits que prennent a:, y et Tare de la courbe, quand t prend un accroissement a\ et par ^i, hi^ l^ les accroissements de h^keX l correspondant à un nouvel accroissement a donné à t.
Soit M [fig' 56) un point quelconque de la courbe ; AP, MP ses coordonnées a:, y correspondant à la valeur t de la variable indépendante. Lorsque t croit de a, x ely croissent de quantités PP| = A, Qi Mi = /r, et déterminent le point Ml de la courbe, dont les coordonnées seront APi = j:-f- A,
PiMi=jr + *.
Si dans ces fonctions de t on fait encore croître t de a, ÀPi ou J? + A prendra un accroissement égal à la somme de ceux que prendront les deux parties x et A, c'est-à-dire A + Al. De même M| Pt ouy -h k croîtra de A: -f- ki.
iy4 LIVRE I.
Soient
on aura ainsi un nouveau point Ms de la courbe.
Prenons Pj P' == PPj 5= A, menons Mj I parallèle à AX, et la droite MMi qui coupe en M', V les parallèles à AY partant de P', Pi 5 on aura
P'P, = h,, — M'I = M, Q,— M, Q. = ^„ M'M, = AJ -t- Â\.
En négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on peut prendre les cordes MIVIi, Mi M% au lieu des arcs qu elles sous-tendent et dont les valeurs sont /, /-i- /i ; on peut donc écrire MMi = M'Mj = /, Mi M, = / -H- /i, et par suite /i = Ml M,— Ml M', Abaissant M'D perpendiculaire sur Ml Mj, on a, au troisième ordre près,
M, D = M, M, — m; M' = M, M,— MM» ; donc M,D = /,.
Désignant par (ù la courbure de l'arc MMi, on aursfc^ M'MiM» = w(n<> 137), et comme M'D = MiM'sinM'MiM,, on aura
M'D = l<^ = s/h\-{-Â'\ — lï,
d'où Ton tire, pour expression de la courbure de l'arc infini ment petit /,
Jh] -(- /■; — /?
et le rayon de courbure R, qui est la limite de -> aura po
expression
Rr=lim
Remarque. — Si l'on mène la tangente MV en M, c^ii
En effet, nous avons vu que l'angle VMiMi mesure la
DES QUANTITÉS GOJfSIDéitéES COMME LIMITES. 1^5
courbure de lare MMj, tandis que VMMi n'en mesure que la moitié; on a donc
et comparant les valeurs de VMi, VM| dans les triangles MVMi, MiVMj, on trouve immédiatement
lim ==2 1 ,
ce qu'il fallait démontrer,
139. Si sur deux courbes tangentes on prend, à partir du point de contact, des arcs infiniment petits égaux, la droite qui joint leurs extrémités a pour direction limite celle de la normale commune.
Soient M [fig- 57) le point de contact, MM' = MM, , et supposons d'abord que les deux courbes soient de côtés diflerents de la tangente commune. Dans le triangle rectiligne MM'Mi, la diflerence des côtés MM', MMj, que nous considérerons comme infiniment petits du premier ordre, est du troisième ordre, puisque les arcs sont égaux ; de plus, l'angle compris M, étant la somme de ceux que cUaque corde fait avec la tangente, est aussi du premier ordre (n** 136). Donc les limites des angles M', M, sont des an^es droits (n** 120), et comme les directions des côtés MM', MM, ont pour limite celle de la tangente en M, il en résulte que la limite de la direction de M'M, est celle de la normale au point M.
Mais si les courbures étaient dans le même sens, les deux arcs MM', MM, seraient du même côté de la tangente, et l'angle M serait la différence des deux angles du premier ordre que les cordes font avec la tangente commune. Cet angle pourrait donc ne pas être du premier ordre, comme
dans le cas précédent, et l'on peut craindre que la conséquence ne soit pas la môme. Or nous avons démontré que ces angles ne difierent des moitiés des courbures des arcs, que dé quantités du second ordre. Si donc les courbures des deux courbes en M sont différentes, ce qui est le cas général, les deux angles qui mesurent les courbures des arcs MM', MMi diffèrent d'une quantité du même ordre que ces arcs, puisque les limites finies des rapports de ces angles à la longueur de Tare sont inégales. Ainsi, en laissant de côté les points particuliers où la courbure est la même, l'angle M sera toujours du premier ordre, et, par suite, les angles M', Ml ont pour limites des angles droits. Donc la limite de la direction M'Mi est généralement celle de la normale cornmune.
Exemples de la détermination des centres de courbure.
140. Cjcloïde. — Soit T [fig* 58) le point de contact du cercle générateur correspondant au point quelconque M de la cycloïde. Nous savons qu'en prenant sur le cercle un arc infiniment petit MI, menant IM' parallèle à AB et égal à MI, puis prenant TF = MI = IM', le point M' appartient à la cycloïde, et T' est le point de contact correspondant du cercle générateur avec la base.
Cela posé, MT, M'T' sont deux normales infiniment voisines, et la limite de leur point de rencontre N est, d'après ce qui précède, le centre de courbure de la cycloïde, correspondant au point M.
Or, si l'on joint IT et qu'on mène MK parallèle à AB, on aura HK = TT', et l'on reconnaît facilement que le rapport de MH à MI et, par suite, à TT' tend vers l'unité \ car, dans le triangle rectiligne MIH, les deux angles I et H ont une même limite finie. £n effet, la corde MI a pour direc-
tien limite celle de la tangente MU au cercle 5 et la direction IHT a pour limite celle de MT ; donc l'angle I du triangle a pour limite TMU. L'angle H du même triangle, ou son égal THK, a évidemment pour limite TMK. Or cet angle est égal à TMU, puisque, d'après les propriétés connues du cercle, MT est la bissectrice de UMK 5 donc la limite du rapport des côtés MH, MI est Tunité. Il en est donc de même de la limite du rapport de MH à Tare MI, jOu à
son égal TT'. Donc la limite du rapport 7==; est 2. Mais le
MK , , , MN ^ 1 T •. j
rapport -=-7 est constamment égal a -^^ • Donc la limite de
MN est 2MT, et Ton aura le centre de courbure O en prenant TO = TM.
^insi dans la cycloïde le rayon de courbure est double de la normale.
1 41 . Ellipse rappçrtée à ses foyers. — Soient F, F' {,fiS' ^9) ^^^ deux foyers, a, b les deux demi-axes, d, 5' les rayons vecteurs d'un point quelconque M de Tellipse, M' un second point infiniment voisin de M^ MO', M'O' les bissectrices des angles F'MF, F'M'F, qui seront les normales en M, M'. Le rayon de courbure en M sera la limite du rap*
MM' port-pr7-> puisque l'angle O' des normales est égal à celui
des tangentes aux extrémités de l'arc MM'.
Comme nous n'avons en vue qu'une limite de rapports, BOUS pourrons, d'après les remarques faites précédemment \v? 115), remplacer les quantités infiniment petites par d'autres, dont le rapport avec elles aura l'unité pour limite, et écrire, comme si elles étaient exactes, les équations où fiUes entreront : nous avons démontré que le résultat cher-
c4^ lin -^ n'en sera aucunement altéré. Nous donnons
ainsi un premier exemple de ce moyen si commode de simplification. Rien ne sera plus facile, au reste, que de faire les mêmes calculs en conservant, comme nous l'avons fait jusqu'ici, l'exactitude absolue des équations.
Les deux triangles F'MI, O'IiM' ayant un angle égal, la somme des deux autres est la même de part et d'autre \ d'où, en désignant par F' l'angle infiniment petit MF' M', par cd l'angle donné F'MO', et de même par F et tù' les angles
IVIFM', F'M'O^
O' — F' = « — w', et de même .
O'— F = w' — w; d'où, en ajoutant,
Ainsi, en désignant par R le rayon de courbure cherché,
on aura
,. 2 MM'
R = lira = — -, •
Nous allons calculer les angles F, F' dans les triangles FMM', F'MM', en les substituant à leurs sinus 5 nous substituerons de même l'arc MM' à sa corde, nous substituerons à la direction de la corde MM' celle de la tangente en M, et aux angles des rayons vecteurs avec MM', les limites de ces angles, c'est-à-dire le complément de co. Les valeurs de F, F' ainsi calculées ne différeront des véritables que de quantités infiniment petites par rapport à elles-mêmes, et,
par conséquent, la limite du rapport -= =7 ne sera pas altérée.
Nous trouverons de cette manière
MM' ces « MM' ces «
d'où
T^ T^/ ,-^.# /i i\ 2flMM'cos» F -f- F'= MM'cos« (^ + -^j = ^, .
DES QDÀIfTITÉS GOUSIDÉRÉES COMME LIMITES. lyg
et, par suite,
acosûi
Or on sait que cosw = --=> et que la longueur n de la normale MN a pour expression
d'où résultent les formules suivantes :
n Costa =: — > = f
a ces Cl) a
n idtf'V a^n*
cos'w iib b*
ou, en désignant par^ le demi-paramètre,
Cette formule s'applique également à Thyperbole et à la parabole.
Celle de ces formules qui donne pour R la construction la
plus facile est R = — ^ qui montre que le rayon de courbure projeté d'abord sur MF^, puis de là sur la normale, donne la longueur même de la normale AIN. Il en résulte que si au point N on élève une perpendiculaire à MN \ qu'au point H où elle coupe F 'M on élève une perpendiculaire à F'M, son point de rencontre C avec la normale sera le centre de courbure.
142. Le théorème suivant a été démontré par Newton. [Princ, section m, prop. ii.)
l8o LIVRE I.
Si dans l^fig- 5g on mène M'Q, M'P, la première parallèle et la seconde perpendiculaire à FM, Q étant le point de rencontre de la première avec la tangente en M, et P de la seconde avec FM, on aura
lim ^., - ■ = — • M'Q a
En effet, la distance infiniment petite de M' à la tangente
peut être considérée comme égale à — — 5 donc
MM'
M'Q = -- ; d'aiUeurs M'P = MM'cos».
2Rcosa>
Donc, en ne considérant que la limite du rapport, on peut écrire
,,, ^ =:2RC0S'ft) = 2/1 ces» =■ •
143. Spirale logarithmique. — Soient M, M' {fig- 60) deux points infiniment voisins, A le pôle MO, M'O les deux normales en M, M' 5 il s'agît de trouver la limite du point O. Les rayons vecteurs AM, AM' étant, comme nous l'avons vu, également inclinés sur les normales correspondantes, les angles A et O sont égaux, et les quatre points A, M, M', O sont sur un même cercle. Mais lorsque M' tend vers M, ce cercle tend à devenir tangent à la spirale en M, puisque la sécante commune MM' tend vers la tangente à la spirale; donc ce cercle à la limite a pour normale MO : son centre e5t donc sur MO ; la limite C de O, ou le centre de courbure est donc l'extrémité du diamètre de ce cercle, dont M est l'autre extrémité. L'angle MAC est donc droit, et l'on a le centre de courbure en élevant en A une perpendiculaire au rayon vecteur, et chercbant sa rencontre avec la normale.
DES QVAVTITtS COIÏSIDÉRÉES COMME LIMITES. l8l
