DÉVELOPPÉES DES COURBES PLANES

144. Sî, sur chacune des normales à une courbe plane quelconque, on considère le centre de courbure correspondant, qui est la limite de la rencontre de cette normale avec une normale infiniment voisine, on obtiendra pour lieu de ces centres une courbe tangente à toutes les normales (n** 76). Cette courbe se nomme la développée de la première, et celle-ci s'appelle la dév^eloppante de l'autre. Les développées jouissent d'une propriété remarquable, à laquelle elles doivent leur nom, et que nous allons faire connaître.

Soient M {fig» 6i) un point quelconque d'une courbe, MO sa normale, O le centre de courbure. M' un point de la courbe, distant de M d'une quantité infiniment petite du premier ordre, O' le centre de courbure correspondant-, les deux droites MO, M'O' seront tangentes à la développée aux points O et O'. Or, comme la longueur MO du rayon de courbure dépend de la position de M, ou de la longueur de Tare de la courbe donnée, compté à partir d'une origine quelconque sur la courbe, on peut regarder MO comme une fonction de l'arc ; ainsi, d'après un principe posé précédemment, l'accroissement infiniment petit de MO, ou la différence M'O' — MO, sera généralement de même ordre queMM^^ et de même l'accroissement OO' de l'arc de la développée sera de l'ordre MM', puisque l'arc de la développée est aussi une fonction de celui de la proposée.

iSa LIVRE I.

Maintenant îl est facile de reconnaître que la longueur de Tare OO', et la différence des deux rayons de courbure MO, M'O' ne peuvent différer que d'une quantité infiniment petite par rapport à elles-mêmes.

En effet, élevons en M et O des perpendiculaires à MO, qui rencontrent la normale M'O' en T et H. La partie TM' est d'un ordre supérieur au premier, puisque MT est tangente et que la direction HT n'a pas pour limite celle de la tangente (n® 128). De plus, la longueur HT ayant MO pour projection sur la normale avec laquelle sa direction fait un angle infiniment petit du premier ordre, la différence entre OM et HT sera infiniment petite du second ordre. Donc la différence entre M' H et MO sera infiniment petite d'un ordre supérieur au premier, puisqu'il en est ainsi de la partie TM', dont nous n'avons pas cherché à préciser exactement Tordre.

Il suit de là que la différence entre M'O' et MO sera HO', à une quantité près d'un ordre supérieur au premier. Or l'arc OO' et la tangente O'H à la développée ont une différence du second ordre (n° 128) : donc enfin OO' et M'O' — MO ne peuvent avoir qu'une différence infiniment petite par rapport à elles-mêmes 5 et, par conséquent, si Ton considère la somme d'arcs infiniment petits 00' formant un arc fini déterminé de la développée, cet arc sera égal à la limite de la somme des accroissements successifs des rayons de courbure. Et, comme cette somme d'accroissements n'est autre chose que l'accroissement total, ou la différence des rayons de courbures extrêmes, on arrive à cette conclusion : Un arc fini de la dés^eloppée d*une courbe quelconque est égal à la différence des deux rayons de courbure de cette courbe, correspondant aux deux extrémités de cet arc. Et cette proposition, s'appliquant à toutes les grandeurs des arcs de la développée, s'applique évidemment aux arcs infiniment petits^ d'où l'on voit que la différence entre OO' et

DES QUÀITTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. l83

M'O' — MO, que nous avions démontrëe être d'un ordre supérieur au premier, était rigoureusement égale à zéro.

145. n suit de ce qui précède que, si Ton suppose un fil flexible et inextensible appliqué sur la développée jusqu'à un certain point quelconque, à partir duquel il s'en sépare tangentiellement et se prolonge jusqu'au point où il coupera la courbe proposée, qu'ensuite on développe la partie enroulée, en tenant toujours le fil tendu, et sans glissement sur la courbe, son extrémité sera toujours sur la courbe donnée \ car l'accroissement de la partie rectiligne du fil tangent sera toujours égal à l'arc de la développée compris entre deux points de contact, ou à la diflerence des rayons de courbure correspondants^ donc la partie rectiligne sera toujours la longueur même du rayon de courbure, et, par suite, l'extrémité sera toujours sur la coiu'be donnée. Le lieu des centres de coiu'bure d'une courbe peut donc servir à décrire cette courbe par son développement en ligne droite, et c'est de là que lui vient le nom de développée.

146. Déi^eloppée de la cycloïde. — Soient M un point quelconque de la cycloïde {fig. 62), MN la normale, NMD le cercle générateur, R le rayon de courbure \ on a

on aura donc le centre de courbure O, relatif au point M, en prenant NO = MN. Mais si, au milieu I de la base, on élève la perpendiculaire IB égale au diamètre 2 a du cercle générateur, et qu'on mène en B une parallèle BV à la base, le cercle décrit sur la perpendiculaire NC comme diamètre passera par O : l'arc NO sera donc égal à l'arc MN du cercle NMD, et, par suite, à la ligne AN. Donc OC = NI = BC. Donc le point O appartient à la cycloïde décrite par un point d'un cercle ayant 2 a pour rayon, le point B pour ori- £rme, et BV pour base.

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La développée de la cycloïde AEA' se compose donc de deux demî-cycloïdes AB, A'B, identiques avec la première, et dont le prolongement se rapporterait aux branches suivantes de celles-ci.

147. La différence de deux rayons de courbure étant égale à Tare de la développée, compris entre les deux points de contact, et le rayon de courbure de AEA' étant nul au point A, la ligne MO est égale à Tare AO. Donc dans toute cycloïde AOB, Tare compris entre le sommet A et un point quelconque O est double de la corde NO du cercle générateur NOC qui passe en ce point ^ proposition déjà démontrée précédemment par d^autres considérations.

Ainsi, en revenant à la cycloïde primitive, on aurait

ME = 2MD, et, par conséquent,

AE = 4^ ^^ AEA' = 6a.

Si Ton fait 2a — y =j)^', c'est-à-dire si Ton compte lesj^' à partir de E, dans le sens El, et que Ton pose EM = 5, on aura

Telle est Téquation de la cycloïde entre l'ordonnée et Tare, comptés à partir de son sommet.

148. Déi^eloppée de la parabole. — Soient réquation y^ = 7.px [fig^ 63), M un point quelconque de la parabole, MN la normale, O le centre de courbure: on aura, d'après une formule donnée précédemment,