MO

Soient x^ j les coordonnées de M 5 a, 6 celles de O, et ç

DES QUANTITÉS GONSIDÉTIÉES COMME LIMITES. l85

l'angle de MO avec la parallèle MI à Taxe des^^ on aura MN = ( j> + /?»)*, jr — 6 = MO cosip, a — a: r=r MO sin tp,

tangç=:~> rnsyr=: SIIlç =

On tire de là

Entre ces deux équations et celle de la parabole y* = 7.px^ si Ton élimine x et y^ on aura Téquation du lieu des points * O, ou de la développée. On trouve ainsi

**'~rr^(«--p)'-

On peut remarquer que Téquation précédente a = 3a: -4-/7 indique une construction fort simple du centre de courbure O ; car, l'abscisse OP de ce point étant égale à 3j: -i-/?, on a NP= 2 a:. Il suffît donc de mener la normale indéfinie MN, de prendre NP double de l'abscisse du point donné M, et d'élever en P une perpendiculaire à l'axe. Sa rencontre avec la normale donnera le centre de courbure.

149. Déi^eloppée de la spirale logarithmique, — Nous avons trouva que le centre de courbure C de c tte courbe est le point de rencontre de la normale et de la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur [fig* 6o). Le rapport de AG à AM étant constant, puisque les angles du iriangle AMG sont constants, il s'ensuit que deux rayons vecteurs quelconques de la développée seront dans le même rapport que deux rayons vecteurs quelconques de la spirale, faisant entre eux le même angle que les deux autres. Si donc on fait tourner la développée autour de A, jusqu'à ce qu'un de ses points soit sur la spirale, toutes les autres y seront de mème^ et les deux courbes coïncideront. La développée de la spirale logarithmique n'est donc autre chose que cette spirale même qui a tourné d'un certain angle autour du pôle.

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