CHAPITRE XX

DÉPLACEMENT D'UNE nGURE SUR UN PLAN. - PROBLÈME DE LA ROULETTE : MÉTHODE DE DESCARTES POUR MENER LES TANGENTES AUX COURBES QU'ELLE DÉCRIT. - GÉNÉ- RALISATION DE CETTE QUESTION. - CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION.

i50. Lorsque Ton considère sur un plan fixe une figure invariable qui se déplace d'une manière continue, suivant une loi arbitraire, un point quelconque appartenant à cette figure, ou lié invariablement à elle, décrit une courbe dépendante de cette loi, et dont les géomètres du xvii® siècle ont étudié un cas particulier. Leurs recherches ont fait faire des progrès à la Géométrie, et le problème qui en a été Toccasion a conservé beaucoup de célébrité. Ils supposaient une courbe roulant sans glisser sur une autre supposée fixe, et ils se sont d'abord proposé de mener la tangente à la courbe décrite par un point lié à celle qui se déplace. Le premier cas qu'ils ont étudié est celui du roulement d'un cercle sur une droite ^ un point du cercle même décrit la courbe que nous avons nommée cjcloïde, et qu'on a d'abord appelée roulette.

Nous ne nous proposons pas de faire connaître les différents procédés employés dans cette recherche \ nous nous bornerons à la méthode donnée par Descartes, comme la plus simple et la plus générale.

Concevons d'abord, au lieu de deux courbes, deux polygones ayant leurs côtés respectivement égaux, dont l'un soit fixe et l'autre se meuve de manière que les côtés égaux s ap-

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pliquent successiyement les uns sur les autres. Un point lié au polj^ue mobile décrira une suite d'arcs de cercle dont les centres seront les sommets successifs du polygone fixe, et, par conséquent, la normale à l'un quelconque de ces arcs passera par le sommet commun aux deux polygones. Si maintenant on supposç que les côtés des polygones diminuent indéfiniment, de manière que ces polygones tendent à se confondre avec les courbes données, cette propriété de la normale en un point quelconque subsistant toujours, quelle que' soit la petitesse des côtés, elle aura encore lieu pour la courbe limite de l'ensemble* des arcs de cercle, c'està-dire pour celle que décrit le point lié à la courbe mobile. Donc on aura la normale en un point quelconque de ce lieu , en le joignant au point de contact correspondant des deux courbes. La tangente sera la perpendiculaire à cette ligne.

Telle est la méthode de Descartes. Elle s'applique à des courbes quelconques.

Mais on risquerait de se tromper si on la suivait trop loin, par exemple pour la détermination de la courbure^ et il faut y regarder de très-près pour reconnaître que ce qui suffit pour la tangente est insuffisant pour la courbure. C'est pourquoi nous allons reprendre la solution en mettant plus de rigueur dans les raisonnements.

451. Soient LL' (fig* Q^) la courbe fixe; SS' la courbe mobile ; M le point de contact pour une position quelconque de SS'; A la position correspondante du point lié à SS', et qui décrit la courbe en question.

Prenons sur les deux courbes données deux arcs infiniment petits égaux MM', MMj -, les points M', Mi seront coïncidents quand le point de contact des deux courbes sera Ml, puisque, d'après la définition du roulement sans glissement, les arcs qui séparent des points de contact corres-

l88 LIVRE I.

pondants, prîs sur les deux courbes, doivent être égaux. Pour amener le système mobile dans la position qu'il aura alors, on peut le faire mouvoir d'abord de manière que tous les points décrivent des droites égales et parallèles à M'Mi, ce qui amènera M' en Mi -, puis, laissant le point M fixe en M^, faire tourner le système autoiu* de ce point, de manière que la tangente en M' coïncide avec celle en Mf Dans ce dernier mouvement toutes les droites s'inclineront, sur leur première direction, d'un angle égal à jcelui des tangentes en M' et Mj , c'est-à-dire de la somme ou de la différence des courbures des*deux arcs MM', MMi, suivant que ces courbures seront de sens contraire ou de même sens. Sfi. donc nous menons A A' égal et parallèle à M'Mi, et que d^ Ml comme centre, avec un rayon égal à A'Mi, qui n'est autre chose que AM', nous décrivions un arc de cercle A'Af, tel que l'angle A'Mi A^ soît égal à celui des tangentes en M' et Ml, Al sera la position exacte de A, correspondant au contact en Mi : AAi sera donc la sécante au lieu décrit par A, et la limite de sa direction sera la tangente cherchée. Or les deux côtés MM', MMi du triangle rectiligne MM' Ml ayant pour limite de leur rapport l'unité, et comprenant un angle infiniment petit, le troisième côté M'Mi est infiniment petit par rapport aux deux autres. De plus, l'angle des tangentes en M', Mi est généralement du premier ordre, même lorsque les courbures sont de même sens. Son égal A' Ml Ai sera donc du premier ordre, et il en sera de même de la droite A'A,, puisque A'Mi a une longueur finie. Donc dans le triangle AA'Ai, le côté A A' est infiniment petit par rapport à A' Ai ^ par conséquent, l'angle Ai a pour limite zéro, et la direction de la sécante AAi a la môme limite que celle de A'Ai . Mais cette dernière tend à faire un angle droit en A' avec la droite A'Mi dont la position limite est AM^ donc enfin la limite de la direction AA|, ou la tangente cherchée, est perpendiculaire à AM, •

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Expression durayon de courbure de la courbe décrite par un point lié à la courbe roulante.

1S2. Une courbe donnée U'V [fig> 65) roulant sans glisser sur une courbe fixe UV, un point M lié à U'V décrit une courbe, dont on demande le rayon de courbure en un quelconque de ses points.

Soient A le point de contact des deux courbes correspond&ut à une position quelconque M du point décrivant \ O, O' les centres de courbure de ces courbes, qui se rapportent au point A. On sait que AM sera la normale à la courbe décrite par M 5 nous désignerons par n sa longueur AM, et par cp l'angle qu'elle fait avec la normale commune 00' aux deux courbes données.

Prenons sur ces courbes deux arcs infiniment petits égaux AN, AN'. Soit M' la position qu'aura prise M lorsque N' sera venu s'appliquer sur N; MN' viendra dans la position M'N^ elle sera la normale en M' : le point de rencontre X de M'N et MA sera, à la limite, le centre de courbure de la courbe en question, et MX sera, à la limite, le rayon de courbure, que nous désignerons par p.

Dans ce mouvement, qui amène N' en N, et, par suite, la tangente en N' sur la tangente en N, toutes les lignes du système se sont inclinées d'un angle égal à celui de ces deux tangentes, ou de leurs perpendiculaires N'O', NO. Cet angle est O + O', et peut être regardé comme ayant pour

mesure

AN Aîî'

ou, à cause de AN = AN',

La droite N'M étant venue, dans ce même mouvement,

IpO LIVKE I.

coïncider avec M' NX, s'est inclinée d'un angle égal à N'MA+X.

Mais, en négligeant les infiniment petits sans influence sur le résultat, on peut prendre