N'MA = ^% X = ^^^. AM AX
La somme de ces deux angles sera, en employant les notations précédentes,
AN coscp ( — 1 I :
^ \/î p — nj'
égalant ces deux expressions de la rotation du système, il vient
d*où Ton tire
^ '^ P — 72 (R 4- R') — RR' cOStp'
OU
1 I RR'cos<p
Les formules (i) et (2) résolvent la question, et donnent le rayon de courbure du lieu de M, au moyen des rayons de courbure des deux courbes données, en leur point de contact A correspondant à M, et, en outre, de la position du point Ml par rapport à A et à la normale à ces courbes.
Il n'est donc besoin de connaître aucune autre chose relativement aux courbes données, que leurs rayons de courbure au point que Ton considère. Ainsi Ton pomTait, en ce point, leur substituer deux autres courbes ayant même courbure qu'elles, et, par conséquent, leurs cercles de courbure eux-mêmes. Le lieu décrit par le point M ne serait plus le même, mais au point en question il aurait toujours même courbure.
DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. ipi
Sî la ligne UV est droite, on a
R=roo, et, par suite, p = — >
^ ^ w — R' cosif
ce qui est immédiatement applicable à la cycloïde et ramène au résultat déjà trouvé.
Si U'V est une ligne droite, UV étant une courbe quelconque, on a
R' = oo,
«t la formule (i) devient
n — Rcos®*
si de plus le point M était situé sur la droite mobile, on aurait
ff= -9 et, par suite, p =r= /i.
Le centre de courbure serait donc au point de contact A *, et, en effet, dans ce cas la courbe décrite ne serait autre chose qu'une développante de la courbe fixe.
Observation. — Si la courbe UV tournait sa convexité en sens contraire, il faudrait changer R en — R dans les formules (i) et (2), pourvu toutefois que le centre de courbure X se trouvât toujours, comme on l'a supposé, sur le prolongement de MA.
Si au contraire le point X se trouvait du même côté que M, il faudrait changer p en — p dans ces mêmes formules.
^application aux épicjcloïdes,
153. Si l'on suppose que les courbes UV, U' V [fig- 66) soient des cercles, et que le point M appartienne au cercle Q^obile lui-même, la courbe décrite sera ce qu'on appelle épicycloïde plane.
Voyons ce que donne alors la formule (i).
ig2 LITRE I.
Le triangle ÂMB donnant
on aura
R4-2R' R + aR'*
Ainsi, pour avoir le centre de courbure, il suffit de prolonger la normale AM d'une quantité AX dont la valeur
est
/îR
