AX

Cette remarque donne un moyen bien simple de construire le centre de courbure X. Il suffit pour cela de tirer le diamètre MMi, puis la droite Mi O : la rencontre de cette dernière avec MA donnera le point X.

En effet, la corde BMi étant parallèle à MA, on aura la proportion

AX:BM, ::ao:ob

ou

AX:/2::R:R-i- 2R',

ce qui démontre la proposition.

Si R est infini, la courbe devient une cycloïde, et Ton trouve p = 2 71, comme on Ta vu précédemment.

Si R = — 2R', on trouve p = 00 en chaque point, et Vépicycloïde se réduit à une ligne droite.

Si le point M, au lieu d'être sur la circonférence O', était à l'intérieur ou à l'extérieur, il décrirait ce que l'on appelle une épîcycloïde allongée ou raccourcie, à laquelle on pourrait semblablement appliquer la formule (i).

Développées des épicycloïdes.

1S4. La développée de l'épicycloïde décrite par M est le

lieu des points X ; et nous allons démontrer que c'est encore une épîcycloïde.

Soit G la position primitive de M ^ on a alors AIM = o, et le point X coïncide aussi avec G. Prenant ensuite Tare CD égal à la demi-circonférence R', le point M est en m à sa distance maximum R -i- a R' du centre O ^ et le point X est à sa distance minimum Ox dé ce même point.

Pour connaître cette dernière, il faut faire /t = 2 R' dans la valeur de AX ; ce qui donne

5tRR' ^ R»

faisant

Ox z= r, Dj- =: 2r',

on aura donc