MOcosa MP

IimMX = = — •

Cherchons maintenant le lieu des points X, c'est-à-dire la caustique.

Soient ce (fig- 77) le diamètre parallèle aux rayons, et H' PH un rayon incident quelconque \ on aura le rayon réfléchi en faisant l'angle OHHj = OHH'.

On a vu précédemment que le point M de la caustique s'obtenait en prenant

HM^HIiz::— .

Soit N le milieu de HO, la ligne NI sera parallèle à PO^ donc l'angle I et, par suite, l'angle M seront droits*, et, par conséquent, le cercle décrit sur HN comme diamètre passera par I et M. Les deux angles MHN, AON seront égaux ^ntre eux, comme étant l'un et l'autre égaux à IHN.

OC Or, si Ton décrit du centre O avec un rayon OA = — •

un cercle qui sera tangent au cercle HMN, l'angle au centre

AN AON aura pour mesure — ? et l'angle MHN inscrit dans

AKJ

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES GOMME LIMITES. llS

Je cercle dont le diamètre est égal à AN aura pour me-

MN sure 7— -• AO

On aura donc égalité entre les arcs MN, AN, puisque les deux angles sont égaux.

D'où il résulte que le point M de la caustique appartient à 1 épicydoïde décrite à partir de Torigine A par un cercle dont le rayon est le quart de celui du cercle donné, roulant sur un cercle concentrique au cercle donné, et d*un rayon moitié moindre.

a° Caustique par réflexion d'une spirale logarithmique, en supposant le point lumineux au pôle.

Soient M, M' {Jig. 78) deux points infiniment voisins pris sur la spirale 5 MO, M'O les normales 5 AM, AM' deux rayons incidents, et MX, M'X ces mêmes rayons après la réflexion.

n faut d'abord trouver la limite du point X quand M^ tend vers M.

Les angles des rayons vecteurs avec la normale étant constants, d'après Ja nature de la courbe, et l'angle de réflexion étant égal à celui d'incidence, on reconnaît immédisttement que les trois angles A, O, X sont égaux.

Donc les cinq points M', M, A, O, X sont sur un même cercle. La limite de ce cercle est celui qui passerait par les deux points A, M, et aurait en M la même tangente que la courbe. Traçant donc ce cercle, le point I, où il coupera le rayon réfléchi, sera un point de la caustique.

Si l'on veut connaître le lieu des points I, il suffira de remarquer que le triangle AMI est isoscèle, puisque les cordes MA, MI) symétriques par rapport au diamètre MO^, sont ^ales, et que l'angle AMI est constant^ donc le rapport de AI à AM est constant, unsi que l'angle lAM.

Donc les points I appartiennent à une spirale identique à la proposée, et que l'on fera coïncider avec elle en la fai«

sant tourner autour du pôle, jusqu'à ce qu'un quelconque de ses points vienne s'appliquer sur la spirale donnée.

De l'enveloppe d'une courbe déforme im^ariable liée à une courbe qui roule sur une autre,

467. Soient HMK {Jig- 79) la courbe enveloppée, Mie point où elle touche l'enveloppe UV5 H'M'K' la première courbe dans une position infiniment voisine, M' le point où elle touche l'enveloppe. Les points de contact de la courbe mobile et de UV se déplacent d'une manière continue sur cette courbe mobile; de sorte que le point M de HK est situé sur H'K' à une distance infiniment petite de M'. Ce point est donc à une distance infiniment petite du second ordre de UV, puisque la courbe H'K' est tangente à UV en M'.

D'où il résulte que le lieu décrit par le point M de la courbe mobile est tangent en M à UV, et par conséquent à HK.

Ce qui donne le théorème suivant :

Les points où une courbe mobile im^ariable touche son enveloppe, dans une quelconque de ses positions, sont ceux qui décrivent des trajectoires tangentes à la courbe mo^ bile dans la position que l'on considère.

Or la trajectoire d'un point lié à la courbe roulante a sa tangente perpendiculaire à la droite qui joint le point que l'on considère au centre instantané de rotation, et ce centre est le point de contact de la courbe roulante avec la courbe fixe.

Donc, enfin, pour une position quelconque de la courbe mobile, on aura les points où elle touche l'enveloppe, en abaissant du point de contact de la courbe roulante toutes les normales possibles sur la courbe mobile.

Exemple. — Un cercle dont, le centre est (V {fig* 80)

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 2l5

roule sur un cercle fixe dont le centre est O ^ trouver Tenveloppe d*un diamètre déterminé du premier.

Soient CG une position quelconque du diamètre en question, et B le point du cercle O, avec lequel le point C a coïncidé^ les arcs AB et AC seront égaux.

Pour avoir le point de CC qui appartient à son enveloppe, il faut abaisser du point de contact A des deux cercles une perpendiculaire AI sur CG : I sera le point cherché.

Or, si l'on décrit un cercle sur AO' comme diamètre, il passera par I, et l'angle AOI considéré successivement comme inscrit dans ce cercle, et comme ayant son sommet au centre du cercle roulant, aura pour mesure

arc AI arcAC

Donc l'arc AI est égal à AC et par suite à AB. Le point I appartient donc à l'épicycloïde décrite par le cercle de dia-' mètre AO', roulant sur le cercle fixe. Cette épicycloïde est donc l'enveloppe cherchée.

Autre exemple. — Considérons maintenant l'enveloppe d'une droite de longueur constante dont le!> extrémités sont assujetties à rester sur deux courbes données \ on aura le point appartenant à l'enveloppe en menant d'abord les normales aux deux courbes aux extrémités de la droite : leur point de rencontre sera le centre instantané, et il suffira d'abaisser de ce point une perpendiculaire sur la droite inscrite pour avoir le point de la courbe enveloppe.

En appliquant cette construction au cas où les deux courbes se réduisent à des droites perpendiculaires, on retombe sur un résultat précédemment obtenu.

2l6 LIVRE I.

Rayon de courbure de l'em^eloppe d'une courbe déforme in\fariable liée à une courbe qui roule sur une autre.

168. Soient la courbe U'V (fig- 8i) roulant sur UV^ HK la courbe lîée à U' V, et H'K' son enveloppe. Soient A. le point de contact de UV, U'V dans une position quelconque; O, O' les centres de courbure de ces deux lignes^ R, R' leurs rayons de courbure \ n la longueur de la normale AM abaissée de  sur HK; f Tangle qu'elle fait avec la normale commune OA'O.

D'après ce qui précède, le point M appartient à Vewré loppe de HK. Pour avoir un point de cette même courbe infiniment voisin de M, prenons sur UV, U'V deux arcs égaux infiniment petits AN, AN', que nous désignerons par w, et abaissons de N' une normale N'B' sur HK. Lorsque, dans le roulement de U' V, N' sera venu coïncider avec N, le point B' de HK sera devenu le point de Tenveloppe, puisque N'B' sera alors la normale abaissée sur HK du point de contact N des deux courbes UV, U'V. Soit B la position que B' aura prise ainsi, BN sera la normale commune à l'enveloppée et à H'K'; le point X, où elle rencontre la normale infiniment voisine, a pour limite le centre de courbure de l'enveloppe, et nous le considérons dans nos calculs comme étant ce point même.

De même nous considérerons le point de rencontre I des deux normales à HK aux points infiniment voisins M, B', comme étant le centre de courbure de HK, et nous ferons

Cela posé, lorsque le point N sera devenu le point de contact, le système mobile aura tourné d*une quantité ^gulaire égale à l'angle que faisaient les deux tangentes eu N, N', lorsque A était le point de contact. Cet angle, qui

DES QVkNTVrts CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 2iy

est le même que celui des normales NO, N'O', est égal à la

somme des angles, O, O' ou à - -f- — •

Mais, d'une autre part, la ligne N'B'I étant venue coïncider avec BNX, la quantité dont le système a tourné doit être égale à la somme des angles I, X ; d'où il résulte

Pour évaluer les angles I, X, on abaissera de  des perpendiculaires sur IN' et BX; elles auront pour valeur Cl) cosop, et Ton aura, par conséquent,

d'où résultera l'équation

ft> 6J oicoso 01 cos<p

R R' /i-f-p' p — « ou

i + ^=cos?(^, + -l^)

ce qui détermine p au moyen de R, R', p'^n^ cp.

On voit donc que le rayon de courbure en un point quelconque de l'enveloppe ne dépend que des rayons de courbure des trois courbes UV, U'V, HK, et non de ces courbes mêmes ^ de sorjte que, pour cette détermination, on pourrait les remplacer par leurs cercles osculateurs, correspondant à la position quelconque que l'on considère.

169. On rettmiberait dans le cas primitivement examiné si i'<m supposait que le rayon de courbure p' fût constamment nul, parce que la courbe HK se réduirait alors à un point. On voit) en effet, que Téquation (4) coïncide avec l'équa-

2l8 LIVRE I.

tîon (i) lorsque Ton fait /9'= o. La première question n'est donc qu'un cas particulier de la seconde, et l'équation générale (4) renferme la solution de l'une et de l'autre^ on pourra donc se borner à conserver cette dernière formule.

Exemple. — Appliquons la formule (4) au cas déjà examiné, où les courbes UV, U'V sont des cercles, et HK un diamètre de ce dernier.

Il faut alors supposer R, R' constants et p' = oo , ce qui réduit d'abord la formule (3) à la suivante

d'où

ou

COS(p ^

cos^ I I R"^R'

Exprimant cos y au moyen de n^ d'après la relation évidente n = R'cosy, il vient

En comparant cette valeuc à la formule générale (3) relative aux épicycloïdes, on reconnaît, comme cela devait être, que p est le rayon de courbure d'une épicycloïde décrite

R' par un point d'un cercle de rayon — roulant sur un cercle

de rayon R.

Mesure du glissement de la courbe mobile sur son

enveloppe,

170. Si l'arc MB pouvait être égal à MB', la courbe HK roulerait sans glisser sur H'K'. Cela n'est pas possible, parce que le système mobile devrait alors tourner autour du point de contact M supposé immobile, ce qui ne peut être, puisque le point A l'est lui-même. Car les vitesses

de tous les points seraient nulles, si celles de deux points Tétaient; et si toutes les vitesses étaient nulles à chaque instant, le système serait constamment dans la même position.

Mous allons d'ailleurs reconnaître que le calcul donne des valeurs essentiellement différentes pour MB et MB'. En effet, on a

donc

MB — MB' = w cos ? ( — ? 7-? — ] = 72 w CCS ® , ^ ,, ^. — ,1

% en vertu de Téquation (4),

MB

~ MB'= 7I« Q + l^^ =z 71(0 + 0').

C'est ainsi que M. Savary, après avoir établi la forniule (4) dans ses feuilles sur les engrenages, a donné le caleul de Tare de glissement dont la considération est in- ^spensable dans la théorie des machines.

f 71 . Mais nous allons montrer comment il est possible de calculer cet arc de glissement sans introduire les rayons de courbure des deux courbes qui glissent Tune sur l'autre, ^^ï par conséquent, sans avoir besoin de connaître la forn^ule(4).

En effet, avant de calculer cette formule, nous avons Wt voir que si l'on prenait deux arcs infiniment petits %aux AN, AN' sur UN, U'V-, que de N' on abaissât une "Normale N'B^ sur HK, et de N une normale NB sur H'K', ^^ point B' de la courbe mobile venait prendre la position "^ lorsque N' coïncidait avec N.

Or les arcs MB', MB étant tangents, le point B' peut être considéré comme appartenant à Tare MB, en négligeant les

2aO LIVRE I.

infiniment petits du second ordre. Donc on^peut prendre M'B pour la différence MB — MB', ou Tare de glissement. Mais B^B peut aussi être regardé comme un arc de cercle décrit du centre A avec le rayon w, pendant que le système tourne de l'angle O -h O' pour arriver à sa seconde position. Donc

MB

-MB'=:^(0-f-0')=/i«(l+i7)

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES. 9.2 ï