CHAPITRE XXn

CERCLE OSCULATEUR.

172. De même qu'il a été intéressaDt de chercher la limite de la direction suivant laquelle on passe d'un point d'une courbe à un autre infiniment voisin, et que nous avons appelée la direction même de la courbe en ce point, de même il est naturel de chercher le cercle, c'est-à-dire la ligne la plus simple après la droite, qui serait la limite de ceux qui, ayant un point donné commun avec une courbe, ont encore dans le voisinage autant de points communs avec elle que le comporte la nature du cercle. De là ce problème :

Trousser la limite des cercles qui passent par un point donné d^ une courbe, et par deux autres points de la même courbe, infiniment voisins du premier.

Ce cercle limite se nomme cercle osculateur. Soient M (yîg^. 82) un point d'une courbe quelconque : N, P deux autres de ses points infiniment voisins du premier ; faisons passer un cercle par ces trois points. On sait que dans tout cercle un arc est égal au produit du diamètre par l'angle inscrit opposé : d'après cela, en désignant par /' le rayon du cercle qui passe par les points M, N, P, on aura, en désignant l'arc de cercle par MP, et observant que Tangle inscrit est égal à l'angle extérieur N,

et Ton pourrait encore prendre le rapport de la corde au sinus de N.

Mais nous avons vu que Tangle extérieur N est égal à la moitié de la courbure o) de Tare MP de la courbe, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cet angle ; et d'ailleurs le rapport de l'arc de cercle MP à Tare de la courbe a pour limite runité, puisque leur corde est

la même. La limite de -— est donc la même que celle de

> arc MP désignant l'arc de la courbe donnée.

Si donc on représente par R la limite de r, ou le rayon du cercle osculateur, on aura

^ ,. arcMP

R 1= hm j

fil)

ce qui n*est autre chose que le rayon du cercle de courbure. Il est d'ailleurs évident que ce cercle est tangent à la courbe en M, puisque la limite de la direction MN sera une tangente commune.

Le cercle osculateur se confond donc ay^ec le cercle de courbure.

Remarque. — Nous devons faire ici une observation importante. Les raisonnements précédents n'imposent aucune condition à la position du point N entre M et P ; elle peutdiviser l'arc MP en deux parties du même ordre ou d'un* ordre différent ^ l'angle extérieur pouvant toujours être remplacé par la moitié de la courbure de l'arc MP, on arrivera toujours au même résultat. On pouiy^aît, par conséquent, faire coïncider M et N, c'est-à-dire mener un cercle tangent en M à la courbe et passant par le point infiniment voisin P, et l'on trouverait le même cercle limite.

C'est d'ailleurs ce que Ton peut reconnaître directement; il suffira de remplacer l'angle N par celui de la tangente en M avec la corde MP : le diamètre du cercle variable sera le rapport de l'arc de cercle MP à cet angle, qui peut être remplacé par la moitié de la courbure de l'arc MP de la courbe. On trouvée donc encore même limite pour le cercle tangent en ^ à la courbe, et passant par un autre point de la courbe infiniment voisin du premier.

173. On peut donner pour le rayon du cercle osculateur une formule dépendant des accroissements de Tordonnée et de l'arc de la courbe, correspondant à ceux de l'abscisse.

Les deux points infiniment voisins du premier pouvant être pris d'une manière quelconque sans changer le résultat, nous supposerons, qu'ils correspondent à deux accroissements successifs égaux de l'abscisse. Soient h la valeur d'un de ces accroissements; / l'accroissement correspondant de l'arc; A l'accroissement correspondant àGj\ A", l'accroissement de cet accroissement quand on y change x Qiix-k-lr^ soient M, M', M'' (fig- 83) les trois points de la courbe», O le centre du cercle qu'ils déterminent, R son rayon, MH, M' H' les accroissements correspondants A, k des coordonnées rectangulaires de M; M' H, M" H' les accroissements de ces mêmes coordonnées à partir de M', de sorte que, d'après ce qui précède, on ait M'H'== /i, SM'^ = A^i. L'accroissement / de l'arc, h partir de M, pourra être remplacé par la corde MM', ou son égale M'S, dans les rapports dont on cherchera les limites.

Dans les deux triangles OIM'', MM'H dont les angles tendent vers les mêmes limites, les rapports des côtés ont les mênres limites; et, comme nous le savons, nous pourrons sans inconvénient les regarder comme égaux : les calculs seront plus simples et les résultats ne seront pas altérés ;

nous écrirons donc la relation

M'^I MH M"I h

R MM' " R / Les deux sécantes SL, SM donneront la proportion

SL SM^ 2M:i 4-/', /

SM ^ sSr ^" âT — 77*

Éliminant JVFI, il vient

AX-Î H- i^

Observant que le second terme du dénominateur est infiniment petit par rapport au premier, on aura, pour la limite de R ou pour l'expression du rayon de courbure,

lim

hk\

RÉSVMÉ DU LIVRE I.

Nous avons établi dans ce Livre les principes fondamentaux de la méthode des limites. Nous avons montré comment les anciens avaient introduit la notion des limites, et l'usage qu'ils en faisaient pour ramener la mesure de certaines grandeurs à celle d'autres grandeurs plus simples*, comment les modernes avaient rendu plus facile le passage de la relation des variables à celle de leurs limites, ou des ijuantités proposées. Nous avons fait voir comment Archimède avait considéré les grandeurs comme limites, soit de séries, soit de sommes de quantités infiniment petites, et nous avons donné des exemples variés de ces procédés. Nous.

avons considéré ensuite Femploî que les modernes seuls ont fait des infiniment petits comme termes de rapports, et nous avons montré comment ils y ont été conduits naturellement par le problème des tangentes, qu'ils ont envisagé sous un autre point de vue que les anciens. Mais nous avons fait voir par divers exemples que les limites des rapports d'infiniment petits se présentaient dans bien d'autres recher-. ches que celles des tangentes.

Nous avons fait ressortir l'avantage que présente l'emploi des infiniment petits dans les limites de sommes ou de rapports, et qui consiste en ce qu'on peut leur substituer des quantités infiniment petites inégales, mais qui n'en diffèrent que d'une quantité infiniment petite par rapport à elles-mêmes. Ce principe facilite beaucoup les calculs en ce qu'il permet de négliger des quantités dont l'expression serait quelquefois très-compliquée et entièrement inutile pour la détermination du résultat que l'on a en vue.

Dans les applications que nous avons faites des infiniment petits à l'étude des théories géométriques et mécani- Çies, ces quantités se «ont souvent présentées comme les accroissements correspondants de variables liées entre elles par des relations connues. Nous sommes parvenus à la dénomination des limites des sommes ou des rapports de ces <l^antités par des procédés indiqués par la nature de la gestion, mais qui ne se rattachaient pas à des méthodes générales. Nous allons actuellement nous occuper spécialement de ces méthodes générales, dont Futilité doit être beau- ^Up mieux sentie, d'après toutes les applications que nous savons qu'elles auront.

CaleJjtf.D.'-l. l5

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DEfi I>IFFÉRENTIELLES, ETC. 22^

CALCUL DES DÉRIVl^DS £T DES iaFFÉR£NTI£LL9ËS