DES FONCTIONS

CHÂKTRE PREMIER.

DES DÉRIVÉES, DES DIFFÉRENCES ET DES DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE. NOTATIONS.

m. Nous avons démontre (n^ 69) que le rapport des accroissements infiniment petit-s correspondants d'une fonction et de la variable dont elle dépend tend en général vers une limite déterminée, et nous avons nommé cette limite dérivée de la fonction par rapport à la variaMe Indépendante.

L'accroissement posîtif ou négatif d'une varîaMe quelconque, dépendante ou indépendante, se nomme la différence de cette varîaWe, et se désigne par la caractéristique A suivie de la lettre qui représente la variable.

Ainsi ^x^ ùj"^ A^,... représentent les différences ou accroissements des variables x, j", z^

La dérivée d'une fonction se désigne, comme nous l'avons déjà dit, par la lettre même qui désigne cette fonction affectée d'un accent : de sorte que les dérivées par rapport ^ à X des fonctions F(jc), f{x)^ ^Wr • • s'écriront ainsi

iS.

OU encore

DF(a:), D/(a:), Dç(jr),....

Ainsi, d'après la notation des différences, si l'on désigne une fonction quelconque F (a:) par y^ on aura, en supposant que Ax et Aj^ tendent vers zéro,

Um g = F'(x) = Dr,

et, par conséquent, en représentant par a une certaine quantité tendant vers zéro en même temps que Ar,

-^ = F'(a?)4-a, et Ar = F(a:)Ax + aAar.

17S. Cette dernière expression nous fait voir que Taccroissement infiniment petit d'une fonction quelconque, peut être considéré comme composé de deux parties, dont Tune a Ar est infiniment petite par rapport à l'autre, qui est F^(a:) Ax. Or nous savons que les limites des sommes ou des rapports d'infiniment petits ne sont pas altérées lorsqu'on remplace ces infiniment petits par d'autres, qui en diffèrent de quantités infiniment petites par rapport à eux. Donc, toutes les fois que Aj^ entrera dans un calcul comme terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherchera la limite, on pourra le remplacer par F'(x)Ar, c'est-à-dire par le produit de la dérivée de y par l'accroissement infiniment petit de la variable indépendante x.

On donne le nom de différentielles à ces quantités que l'on peut substituer aux différences infiniment petites des fonctions. Elles sont plus simples, puisqu'on néglige dans celles-ci le terme a Ax qui est presque toujours excessivement compliqué. Ce sont même les plus simples quantités que l'on puisse considérer au lieu de l'accroissement de la fonction correspondant à l'accroissement arbitraire Ar,

puisque c'est le simple produit de ce Ar par uue fonction où Ao? n'entre pas.

Les différentielles, ces quantités infiniment petites, plus simples, que Ton peut substituer aux différences ellesmêmes, se désignent par la caractéristique d^ au lieu de A, et comme elles ne sont autre chose que le produit de la dérivée de la fonction par l'accroissement de la variable, on aura

dy^T(x)ùix ou ^=:F'(ar);

la différentielle est donc une quantité dont le rapport à r accroissement de la variable est égal à la limite du rapport de la différence de la fonction à ce même accroissement. On voit que la recherche de la dérivée ou celle de la différentielle d'une fonction sont une seule et même question.

176. Si Ton suppose que la fonction y soit x lui-même, on aura

ty = Aar, F' (ar) =r I , et djr = Ax,

Ainsi la différentielle de la fonction ^, qui dans ce cas est x, est identique à Ao?, c'est-à-dire que l'on a

dxr= àx'y

et, comme il est plus naturel d'employer une seule caractéristique quand cela est possible, toutes les fois qu'il s'agira de différentielle de fonctions de a:, nous représenterons l'accroissement de X par dx \ et, lorsqu'il s'agira des accroissements exacts désignés par la caractéristique A, nous représentefons l'accroissement de x par Ao?.

Rema&qub. — Si, dans une même question, on a à considérer une variable indépendante x et plusieurs fonctions 7^, z, u, »/,... de cette variable; que l'on représente par

23a ut^v n.

hyj. A», An, J^y..^^ htSi acarcDssemcaats àe ces fi»iickkNM^ correspondant à un même accroissemenJtAxrdex; «fcpar (fyy dzy cfoL, dk*^.... kurs dôffiéreBlîelies: caneqnoodamt à raecEoiasenwifiC ^ €Nft cbr dis ^s^ tautes cxs dîfféreaiidk» sflSQnt dan& des rapports coitstamls wre^. dx: et, par toaaéh qaent^ Lss unes avec k» antres^ à mesuce que dx tendra vers arfroi.. Ges rapports coonfitants sercoot ëridmBnieBt ks limites des rapports des différences correspondantes, qui ne diffèrent des différentielles que de quantités infiniment petites par rapport à eltes-mèmes.

Ainsi} par exemple, on aura

de sorte que — est la dérivée de \f par rarppoBrt k y^ quelle

que soit la variable commune par rapport à laquelle on ml pris les différentielles dv et dj. Ce qu'on peut encore exprimer d'une autre manière en observant que — est le rapport de — à -^1 et Ton obtient cette proposition : que la dé-

cm eue

rivée d* terre irariahle v par rapport à une aietre wiriahley est égale au rapport des dérwées de v etjr par rapport à une même variable quelconque jc, dont elles peuvent être considérées comme dépendantes.

Des fonctions simples, des fonctions de fonctions et des fonctions composées.

177. La manière dont une quantité peut dépendre d^une autre est susceptible d*une variété indéfinie. Parmi toutes les formes possibles de fonctions, on en a choisi un certain nombre très-limité, auxquelles on est convenu de chercher à ramener toutes les autres. Elles sont telles, que, soit par

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DSa DIFFÉRENTIELLES, ETC. ^l

les premières opëriitk>ii$ dç rArithmétique, §oit «u notoyen des Tables oanstmites d'avimce^ oa peut, svec u» d^ré suffisant 4'afqproxim»ti(m, obtenir leurs vsleurs correspond dant à des valeurs numériques quelconques de la variable dont elles dépendent.

Ces fonctions^ que Ton désigne sous le nom de fonctions simples, sont les suivantes, dans lesquelles a désigne une quantité indépendante de la variable x: a-hx^ a — Xy aXj

-9 oc^ {m étant un nombre réel quelconque), a*^ sîno?, cosa?,

tangj:, cota:^ séco:, coséco? ] et les fonctions inverses logo:, arcsinx,arccosa:, arctango:, arc cota:, arcsécx, arccoséco:.

Une fonction quelconque de x peut Être soumise aux opérations qui coustituent une nouvelle fonction^ on a alors une fonction d'une fonction de x. En la considérant elle-même comme une variable, on peut encore la soumettre aux opérations qui constituent une nouvelle fonction, et ainsi de suite. Les fonctions obtenues de cette manière se nomment, en général, des fonctions de fonctions.

Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs fonctions de a:, on la nomme une fonction composée de x, et c'est le cas le plus général des fonctions explicites, c'est-à-dire de celles qui sont l'indication d'opérations qu'on sait effectuer.

Dans tous les cas, lorsque deux fonctions, renfermant un nombre quelconque de variables dépendantes d'une seule, sont toujours égales^ quelque valeur qu'on donne à cette TariablO) il est clair que leurs accroissements correspondants sont toujours égaux, et que, par conséquent, leurs dérivées |>ar rapport a cette variable le sont aussi, ainsi que leurs différentielles.

D'où il résulte que, quand une équation a lieu pour toute valeur de la vai'iable indépendante, les délivrées ou les différentielles de ses deux membres par rapport à cette variable sont égales, quelque valeur qu'on lui donne.

Nous allons faire connaître les principes au moyen desquels la détermination des différentielles ou des dérivées de tontes ces fonctions se ramène à celles des différentielles ou des dérivées des fonctions simples.

Différentiation des fonctions de fonctions,

178. Considérons une fonction m de x^ déterminée par la suite d'équations

tt = F(z), «=/(jr), ^ = (j>(^),

et clierchons sa dérivée par rapport à or, ou la limite du

rapport -- » dont les deux termes tendent vers zéro, opéra-

tîon qu'on appelle différentiation. Soient Au, A^, Aj les accroissements de m, z, y^ correspondant à raccroissemenl ùkX de x\ on aura identiquement

Au Att Az A^ Ax Az At* ^x

d'où, en observant que la limite d'un produit est le produit des limites

Hm^rrrlim — Km — lim^=F(z)/'(j)(p'(:r).

Aor Az Aj- Ao: ^ ''' v^/T v ;

Donc la dérii^ée de u par rapport à x est le produit des dérivées de u par rapport à z^de z par rapport à y^ et de y par rapport à x.

Si Ton représente la dérivée de u par rapport à x par le rapport des différentielles, on aura

ou

duz=Y'{z)f{x)ff'{x)dx.

C'est en cela que consiste le principe de la difierentiation des fonctions de fonctions. Il a lieu évidem^lent, quel que soit le nombre des fonctions accumulées ^ et il ramène à la simple difTérentiation de chacune de ces fonctions, considérée isolément.

Remarque. — Si y et z sont dés fonctions de x et qu'on ait l'équation

les deux fonctions ç et ^ étant égales, quel que soit x^ ont même dérivée par rapport à x^ on a donc

OU

dz et dy étant les différentielles et non les accroissements exacts de z et y correspondant à l'accroissement indépendant donné à a:, de sorte que l'on n'aurait pas

Différentiation des fonctions inif erses.

179. Si l'on désigne une fonction F (a:) parj^, c'est-àdire si l'on pose

et qu'en résolvant par rapport à a: on en tire

on dît que les fonctions F et ç sont inverses l'une à l'autre.

Gela posé, ces deux équations étant les mêmes sous une

forme différente, elles donneront les mêmes accroissements

correspondants pour x et y. Soient ùx^ ùy ces accroisse-

latents, on aura

d'où il résulte que, pour avoir la dérivée d'une fonction F(j:) inverse de la fonction ^[x)y dont on sait trouver la dérivée, il suflSra de prendre la réciproque de la fonction dérivée y', et de placer sous ce signe la fonction proposée