CHAPITRE IL
EXPRESSION DE L'ACCROISSEMENT INFINIMENT PETIT D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARUBLES DÉPENDANTES OU INDÉPENDANTES.
180. Considérons une fonction y qui dépende de deux variables u, r, et soit
Si Von donne à u et (^ des accroissements infiniment petits Au, ùiv dépendants ou indépendants l'un de l'autre, suivant que u et (^ le seront eux-mêmes, l'accroissement correspondant de y sera
Aj = F ( a -f- A«, p H- Ac) — F ( 1/, p)
et pourra se mettre sous la forme
Ar = F(a-f- A«, r) — F(«, v)
H- F( J* H- A«, p -{- Ac) ~ F(« ^' Ail, r).
Les deux premiers termes peuvent s'écrire ainsi
F(/i-+-A«r,p) — F(!/, v\ Au
Le coefficient de Au ne diflfère que d'une quantité infiniment petite de la dérivée F (u, v) par rapport à m, i^ étant considéré comme constant. Soit Fi (u, ^) cette dérivée, que l'on appelle dérivée partielle de F(u, t^) ou de^ par rapport à u ; l'expression précédente pourra se mettre sous la
forme
[Fi(m, p)-ha]Aa,
a désignant une quantité qui devient nulle avec Au.
La seconde partie peut se mettre sous la forme F(tt -f- Att, f + Ap) — F(« -f- Aa, v)
Ap
Ai^.
Le coefficient, de A(^ ne différera de la dérivée de F ( u 4- Am, f/) par rapport à v considéré comme seule variable que d'une quantité 6 qui deviendra nulle avec Aw. Soit F, (m, v) la dérivée partielle de F(u, r) par rapport à r ^ on pourra donc mettre la seconde partie de l^j sous
la forme
[F,(a4- Aa, p) -f- P]Ap,
/3 devenant nul avec At^.
Mais Fj (m H- Am, t^) ne diffère de Ft(M, v") que d'une quantité qui deviendra nulle avec Am^ l'ajoutant avec P, et en désignant leur somme par a', la seconde partie de Ay
aura pour valeur
[F8(w, f)-{-a']Ap;
et par conséquent, en réunissant les deux parties de A^,
Ajr = [F,(tt, p)-f- a]A« -l-[Fa(i/, p)-{- a'jAi'.
Or «Am, étant infiniment petit par rapport à la première partie. Test par rapport à Aj^ lui-même 5 et il en est di
même de a' Ap», que Au et At^ soient dépendants ou indé
pendants l'un de l'autre. Donc, en désignant par co un — ^ quantité infiniment petite par rapport à A^, on aura
On représente les dérivées partielles Fi (u, t^), F^m, \f\ paB.r
— 9 r^ — ) ou -f-) -f- ; mais il faut bien se rappeler
du dv du dv *-^
que ces deux dj sont différents et représentent les diffère tielles àej relatives à la variation d'une seule des quanti t-^s u, (^ : on les nomme les différentielles partielles de j £>2r
rapport à u ou à s^. Euler avait proposé d'écrire ainsi ces dérivées partielles : ( ^ ) > { ;t^ ) * ^ ^ supprimé, depuis,
ces parenthèses, parce qu'avec un peu d'attention toute méprise est impossible. L'équation précédente s'écrira alors de cette manière
dr dy
Ar = "T" A" + T" ^^ "^ w ; du dv
et il bon de se rappeler que w se compose d'abord d'une partie qui, divisée par Aa, devient encore nulle quand on y fait Au = o, et d'une autre partie qui, après avoir été divisée par At^, contient des termes qui deviennent nuls, les mis quand on y fait Au = o, et les autres quand on y fait
ÛJ'= o.
On aurait des résultats analogues pour un nombre quelconque de variables u, v^,,,^ soit entièrement indépendantes, soit dépendantes les unes des autres, ou d'autres variables quelconques.
Différentiation des fonctions composées.
i81. Soient
et
yr sera alors une fonction composée relativement à x.
Pour avoir sa dérivée, on remarquera que, d'après ce qui précède, on a, en supposant les accroissements infiniment
petits,
dy dy dy
Ar = -i^ Am -f* -7- Ap -i- -t- Acv H- . . . 4- û), du dv dw
tù étant infiniment petit par rapport à Aj.
a38 LIFRE II.
Divisant par Ao: et passant aux limites, on obtient
dy dy da dy dv dy dw
dx du dx dv dx dw dx
expression dans laquelle il ne faut pas oublier que ^9 -j-j
— sont les dérivées partielles de la fonction r. Si x entrait div ^ *^
explicitement dans F(u, {>y «'v •)? P^^" exemple si u n'é-
dy dy
lait autre chose que x^ — deviendrait ~ et serait la dérivée partielle de la fonction par rapport à x ^ tandis que le -j- du premier membre est la dérivée totale de la fonction •
dans laquelle on fait varier toutes les quantités dépendantes de X, On ne se méprendra jamais sur le sens de ces notations : c'était pour éviter toute crainte à ce sujet qu'Euler avait proposé, comme nous l'avons dît, de mettre entre deux parenthèses les dérivées partielles \ mais on a renoncé à cette précaution.
L'équation ci-dessus donne, en multipliant les deux membres par dx^
dy := -j- du -\- ^ dç -j~~ d(v -^ . . ., au dv dw
que l'on écrit quelquefois ainsi
dy ^ d^y 4- d,y -h d^y -{-....
On peut donc énoncer ainsi le principe de la différentiatîon des fonctions composées :
La différentielle d* une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles, relatii^es à chacune des variables qui y entrent explicitement^
Quant aux diflférentielles rftt, dv^ ... de ces dernières,
CALCirt* DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. ^39
elles se rapportent toutes à la différentielle dx de la variable tmiqae dont leOes dépendent.
182. Théorènte des fonctions homogènes. — La dîfférentîation des fonctions <?omposées dxynne la ilémonstration d'un théorème Temanqnable snr les fonctions liomogènes. On dit qu'une fonction de plusieurs variables est homogène et du d^ré m lorsque, en i!aultî]^îant t;baq<H!e variable par une indéterminée t^ la fonction se trouve multipliée par t"*.
Cela posé, soient u = F (a:, j^, z,. . .) une fonction homogène et du degré m, et ç(j:, y^ ^v)î ^{^^ !K5^v«0v" ses dérivées partielles par rapport à x^ j"^...] on aura, d'après la définition précédente,
Oifférentiant les deux memin^es par rapport à la variable t seulement, il vient
|>(fjr, tjr, tz,,,)x ^-^(^^r, tjr, tz^,,.)y 4-... = mf'"~*F(;r, /, 2)5
faisant £ = i dans cette identité, on aura la suivante - . du du du
C'est en cela que consiste le théorème des fonctions homogènes.
On peut remarquer que, si dans rîdentité(i) on suppose
t = -5 on obtient
Ainsi xme fonction homogène de degré 777, divisée par la puissance m d'une des variables, ne dépend plus que des rapports des autres variables à la première.
240 LIYR£ II.
Différentielle d'une somme, d'un produit ou d!un quotient
183. La règle précédente, appliquée à une somme de termes, montre que la difTérentielle d'une pareille fonction est la somme des différentielles de chacun de ses termes, ce' qui était d'ailleurs évident de soi-même.
Si Ton suppose maintenant y = ui^w. . ., la même règle donnera, en observant qu'en général d[AF{x)] = A.dF{x)^ si A est un coefficient constant,
djr = w(^, , , du -^ uw, , , dtf -h up, . , dw -i- . . . ,
OU
(du dp dw \
dy z= upw, . . ( 1 1 h . . . 1 ....
\ u p fV )
Soit encore j = -<, d'où ty = u. En prenant les dîfféren-
tielles des deux membres, on aura
y dp 4- i^dy =z du^ d'où
du Y dp du udp
dy= ■^— = -•■,
ce que l'on peut écrire ainsi
vdu — udp
dj z=^
Ces trois règles sont d*un usage très-fréquent.
Comment la dijfférentiation de toute fonction explicita se ramène à celle des fonctions simples.
184. Considérons maintenant une fonction explicit quelconque de x : elle indique une suite d'opérations ellfectuer, dès que l'on aura choisi arbitrairement une v a
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉBJElfTIELLES, ETC. ^4 1
leur numérique pour x. Celle de ces opérations qui doit se faire la dernière, et dont le résultat est la valeur de la fonction, porte soit sur une seule, soit sur deux quantités variables avec X'^ dans ce dernier cas, la dérivée de cette fonction se ramène, par le théorème des fonctions composées, au cas où une seule des deux quantités serait variable, et alors on n'a plus à considérer qu'une fonction simple. Si donc on savait trouver les dérivées de toutes les fonctions simples, on saurait trouver celle de la fonction proposée, au moyen des dérivées des quantités sur lesquelles doit s'exécuter la dernière opération. La question est donc ramenée à déterminer ces dérivées, qui sont celles de fonctions moins compliquées que la proposée, et qui se ramèneront semblablement à d'autres fonctions encore moins compliquées, jusqu'à ce que Ton parvienne à des fonctionssimples.
Tout se réduit donc à la différentiation de ces dernières, et c'est de quoi nous allons nous occuper présentement.
Calcul inf, />.-«]. l6
24^ XIWE II.
