CHAPITRE ro

£HFFËRENXIiIl(^ DES FœOlÛNS SIMPLES.

185. Différentielle de logx, — 8ort^= Jog-jc; ce logarkbmeëtant pris dans une ba9e qoelconcjue tx, on aura

Aj = log( j: -h ^x) — loga: =: log ( i H J 5

^ et, par. Blute,

log (. + ^\

Posons — = a, et substituons dans le second membre , il vient

Aj log(i -ha)^ A.r ax

Or on sait que, lorsque a tend vers zéro (zwir la note III à la fin), -^ ' tend vers loge, e désignant la base du système de Néper. Donc la limite de — est — ^« On peut donc écrire

Dlog:r = J = î^, ou ^j = !2Sfrfx. ax X X

Si Ton observe que loge = p > 1 désignant les logarithmes

népériens, on pourra écrire

jcla dx x\a

si a = e, on auraj^ = 1 x,

dx dy I

X dx X

Dans le cas où a = lo, le module loge a pour valeur loge = 0,434994^. . . .

i8(k J)ifférentielle de a'. ^ — Soit maintenant la fonction inverse j^ c= a'. D'après la règle donnée en général pour les fonctions inverses, et dont on pourrait refaire la démonstration sur chaque cas particulier, on aura

— = -^— — = a^\a dx loge loge *

et, par suite,

dy = a'iadx*

On pourrait aussi trouver directement la différentielle de a*, et en déduire celle de la fonction inverse logo:. En effet, si Ton a^ = a', on aura

d'où

Ar a^'— I

Ax ùix

Tout se réduit donc à trouver la limite de > ou,

pour plus de commodité, de 9 a tendant vers séro.

Posons

a*— I = 6, d'où ««m I -h 6,

il faudra trouver la limite de -; pour cela on remplaceras

par sa valeur en 6, donnée par Tëquation précédente, d'où

Ton tire

ala=l(i-+-6); il en résulte

la.

d'où lira - r= la, et, par conséquent,

dr

-— = a'ia z= Da*, et djr z=: a*\adx,

187. Différentielle de af^. — Soit j^ = a:^^ on aura, en prenant les logarithmes des deux membres dans la base e,

prenant maintenant les différentielles des deux membres.

il vient

dy dx , wj

-^ = /w — > d'eu dy = —^dx, y X X

Remplaçante^ par a::^, on aura, quel que soit m,

, dy dy =z maf*~^ dx^ —-=: mx^~\

dx

Si ^ et o: n'étaient pas positifs, les logarithmes seraîe».imaginaires^ on évitera cette difficulté en élevant au car :■ les deux membres de Téquation j^ = jc"*, ce qui donne

et, prenant les logarithmes,

ly^=r m\x^,

Différentiant les deux membres, il vient

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETGi ^^b

et, comme on reconnaît facilement que Ton a

d{x^)z=z 7,ydy^ d[x^)z:^ 7.xdx^ cette équation deviendra

dy mdx

et, par suite,

dy dy =: maf"-^ dx et -^:=maf^-'\

dx

comme dans le premier cas.

Dans le cas particulier de m == — i , on trouve

I dx

Si m = - » on a

On peut parvenir directement à la dérivée ou à la différentielle de X*. En effet, cette dérivée est la limite de

oa de x'^

dx tix

posant

Ax

ott aura à trouver la limite de

l^^nd a tend vers sséro. Posons (i -H «)* — i = 6: la que»- ^^^ revient à trouver af^^ lim -• Pour avoir cette limite îJ

246 LIVRE n.

faut exprimer a et 6 au moyen de rë<juation de transformation, qui donne ml(i •+- «)== /(i -f- 6).

Mais on sait que, dans la recherclie des limites de rapports, on peut remplacer l(i-h z) par il, qaei. queaoitrin* finiment petit z ^ donc

a l[l-ha)

et la dérivée de af* est /nor'""*. Ainsi

Remarque. — La limite de- étant m, on a ^ = m(i-^ w),

a ce

ct) tendant vers zéro avec «. On aura donc, quel que soit t/i, ( î I /» ^''• — T

5 =r/w(l-hw) ou (l -f-aj'rr: I -h/wa(l -4- w),

OC

et Ton pourra remplir (i H- a)"* — i. par ma sans altérer les limites des rapports.

188. Différentielles de sinx^ tangx^ séex, -^ Les lignes irigonométriques étant des fonctions de Tare correspondant [voir, dans les applications géométriques, Tarticle sur la longueur des lignes courbes), nous pouvons chercher l'expression de leurs différentielles correspondant à celle de l'arc. Dans tous ces calculs nous supposerons que le rayon soit pris pour unité.

1° Soit d'abord

il en résultera

• / . \ ' . Ar / A.r\ àjr :=zz sm( a: -}- A^) — sm j: =i 2 Sin — ces [a:-\ \\

d'où

sm-^ Ar 2 / A.r\

— 1= ces \x-\ •

^7 lers^'uB asc tend, vers zéco.^ ie rappont du sinus à Vase ^end vers l'unité, ainsi que le rapport de la tangente. à l'arc, ^u du sinus à la tangente^ donc

sm —

lim z= I :

/a Jimite du second membre est donc coso:. On a done

-— = Qosx, ou D sm;r = cosor; eux

>ia eu déduit

dsmxz=i cosxdx.

a^ Soit maintenante^ = tangx 5 on aura

tanc^j: -f- taniçAo: XJàViç.Lx{i + tang'jf)

A>-= 2 2 \ansxz=z — 2 i 2 — ,

I — tangxtaDgAx ^ i — tangxtangAjr

Aj tangÀx I -h tang*j:

Lx Ax I — tangj^taDgA^*

^ I>«BsaRt a«K liantev,

-f- = I H- tsxm^x = sec'x = — — :

dx ^ cos^ar'

lytangjr— — 5

^^•> par suite,

dx dYz=^dtaDsx=z — --•

On arriverait au même résultat en considérant que tango: égale — 7-? et appliquant la règle pour différentier les frac-