COS X

tions.

Soit enfin y = séc x = ; on aura, par la règle des

fractions,

dcosx smxda:

dy ^=r. ; — r=: = \2J\&X ^eQXOX l

COS^j: cos'ar "

ainsi d sécx = tango: sécxdx^ et D sécx == tangx séco:. On y parviendra encore en observant que

l^Y zzz j

cos(jî-4-Aa:) cosj:

et développant les calculs comme dans les cas précédents.

3** Différentielles de cosx^ cotx^ cosécx, — Considérons maintenant les mêmes fonctions du complément

X deTarco:.

Observons pour cela que Ton aura en général, en regardant X comme une fonction de o:, et appliquant la règle

des fonctions de fonctions.

x\-—r['^ — x\djc.

Ainsi, pour les trois fonctions coso:, coto:, coséco:, qui ne

sont autres que sin ( o: ) ? tang ( xU séc ( x ) >

il faudra prendre les dérivées des fonctions respectives

sino:, tango:, séco:, y changer o: en o:, puis multiplier

par — dx. On trouvera ainsi

d cosa: = — smxdx^ d cota: r=r ; ,

sin'x

dcosQCx -=. — cota: cosécxdx^

Dcosj:= — sinj?, Dcotorm t-t—î

sin^a:

D coséc j: =r: — cot ar coséc j:r.

189. Différentielles des fonctions trigonométriques ini^erses. — Nous avons vu que, pour obtenir la dérivée d'une fonction j^ de a:, il suffisait de diviser Tunité par la dérivée de la fonction inverse, dans laquelle on mettrait^ pour variable.

D'après cela, si Ton considère les fonctions arc sino:, arctangx, arcsécor, arccoso:, arc cota:, arccoséca:, qui ont respectivement pour inverses

sinx, tangj?9 sécx, cos^c, cota:, coséco?,

on trouvera

dx dx

pour j^ = arc sm;c, dy = =

CCS J yj I

dr pour X = arc tangue, djr z=z cos*jrdx = : >

pour X = arc séc or, djr =

ila: dx

tang/sec/^ xyjx^—i

dx dv

pour y •= arc cosj;, djr ^= :

sin j v^ I — .r'

pour y = arc cot^, dy =z — sm^xdy z=z —

dx dr

pour r = arccosccj:, dy z=i — , ,

'^ coly cQSGcy a: \Jx' — i

Il est inutile d'écrire les valeurs des dérivées. U faut bien remarquer que les radicaux qui se sont introduits dans ces formules doivent être pris, tantôt avec le signe H-, tantôt avec le signe — ; on reconnaîtra celui que Ton doit prendre, en considérant la ligne trigonométrique qui Ta introduit. Les trois dernières différentielles sont égales aux trois

â5o LIVI» II.

premières, en faisant abstraction des signes, qui peuvent être semblables ou dissemblables^ et cela tient à ce que la somme ou la différence des deux arcs correspondants est une constante.

Les signes que nous avons donnés aux radicaux, dans ces formules se rappellent au cas où Tare est compris entre o

et-

Les différentielles des fonctions trigonométriques , ou fonctions circulaires, pourraient encore s'obtenir par des considérations géométriques fort simples, auxquelles nous ne nous arrêterons pas.

490. Le tableau suivant renferme les différeatielles de toutes les fonctions simples. Nous y représentons par la lettre caractéristique L les logarithmes dans une base quelconque, et par 1 ceux qui se rapportent à la base de Néper^ Dans les fonctions trigonométrîques inverses, les signes de^

radicaux supposent Tare compris entre o et — •

</x«=-- nx'^'^dx

dsinx = coBxdx

dx dhx=^ Le —

fllangar = r—

dix — —

dsécx— Uingxsécxdx dcosx — — sinxdx

da*-=^ a^ladx

de* z— e* dx

dcotx d coséc j:

sin'j:

— cotx coséca:i2r

<farccotx d arc cosécx

Il est bon d'observer que cess différentielles de» fonctionsimples de X ne supposent nullement que x soit la variabi indépendante. Elles correspondent bien à la diATéreflotiell

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. a5l

dat::\ mais celle-ci peut dépendre de celle d'une vaciable çiMclconque dont x dépendrait, comme aussi elle peut être eziK.'Eiërement indépendante. Ainsi Ton aurait

£?sin[F(ar)] = cos[F(a:)]^F(a:),

G ^ ^st celte même considération qui nous a conduits à la diff&acT-entiation dès. fonctions de fonctions.

DtfféreTttielles des fojtctions implicites.