Si par fonction imjdicite on entendait toute fbnotioB

^^=>:bi la forme n'çst point donnée explicitement, mjuia gui est

A.^ terminée complètement par les données de la question,

^^■=^ se jetterait dans une trop grande généralité, et il ne se-

ï"«^ît pas possible de donner des règles générales pour leur

férentiation. Nous renfermerons seulement sous cette

nomination les fonctions qui sont liées aux variables dont

^Xles dépendent, par des équations dont les deux membres

sont des fonctions explicites de toutes ces quantités.

Nous considérerons d'abord le cas où Ton a une seule ^^JUation 5 ce cas se subdivise en deux autres, suivant que *^ fonction dépend d*une seule ou de plusieurs variables * ^^dépendantes .

Soit d'abord la fonction y déterminée par l'équation

iLfes dérivées par rapport à x des deux membres de cette ^U^tion devant être identiques, et y étant une fonction déterminée, quoique inconnue, de a:, nous aurons, d'après •^ ï^ègle des fonctions composées,

dj dS^ df dF ^ dF ^

^^î^xation qm détermine la dérivée ou la diilérentielle de j^,

puisque Ton peut former les dérivées partielles ~r-i -t- d^ la fonction explicite F(x, j^). On aura ainsi

dy dx ' ., ^ , dx ^

^ = -^, dou djr=-;^da:.

dy dy

Ces valeurs de la différentielle et de la dérivée de^ sont exprimées au moyen de a: et j^ à la fois 5 elles ne peuvent Têtre au moyen de x seul que quand on peut résoudre Téquation F(x,j^) =0 par rapport à y\ mais néanmoins ces formules ne laissent pas que d'-étre d'une grande utilité dans le cas même où cette résolution est impossible.

192. Considérons maintenant m — i équations entre mvariables \ ce qui détermine m — i d'entre elles en fonc — tions de la /w**"**, qui sera la seule variable indépendante^

Soient

FiC-a^^Jî-S». . .,) =0,

on trouvera, en diiférentiant toutes ces équations, ^F , rfF , ^F ,

-— rfo: + — - rfj 4- — - c?z -h . . . = O, dx dy dz

dFt dFt <^F,

— -— d.T H dy H — - rfz H- . . . r::^ o,

d.v dy " dz

— ; — dx H ; dy H ; dz -h . . . . = O.

dx dy dz

De ces m — i équations du premier degré par rapport à djyf dz^. . ., on tirera la valeur de ces m — i inconnues en fonction de or, j^, z,. . . et dx 5 ce qui était l'objet de la questio» -

dlLGUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 253