CHAPITRE IV

EIIXPRESSION REMARQUABLE DU RAPPORT DES ACCROISSEMENTS FINIS DE DEUX FONCTIONS D'UNE MÊME VARIABLE.

193. Soient F (or), f[x) deux fonctions quelconques, et. oTo) X deux yaleurs arbitraires de or; X surpassant x^ d'une quantité finie positivé h. II s'agit de trouver, au nioyen des dérivées de ces fonctions, une expression du rapport

en supposant que la fonction f{x) soit toujours croissante <)u toujours décroissante^ ou, en d'autres termes, que sa dérivée soit constamment de même signe, pour toutes les valeurs de x comprises entre Xq et X. Admettons, pour fixer les idées, que f'{x) soit constamment positive entre ces limites^ soient A, B la plus grande et la plus petite valeur que prend entre ces mômes limites le rapport ^,f ' 9

^e nous supposons fonction continue de x : on aura con- ^tauMDient

^^Itipliant par^ ( x) qui est positif, on aura les deux in^;autés suivantes, qu'il faudrait changer de sens si f'(x) était négatif,

^ premier membre de la première in^alite est la dérivée

1àS4 LIVRE II.

de F(a:), et le second de Kf{x)^ et par conséquent (n° 72) F(j:) croît moins rapidement que Af{x), On a donc, si h est positif

et'divisa!nt:par/(K) — /(^a)^ -qui estipositif, fÊSthjftythèse,

On trouverait ce même résultat si h était négatif, parc que rarant*demière inégalité cliangerait de sens ; mais, e ItL divisant par /(X) — f{xo)^ qui serait alors négatif, elL changerait une "seconde fois. L'inégalité F'(;r)>BJ^( conduit de même, dans tous les cas, à

l>>nc, pmsque le rapport ,: ' est continu entre x^ et X, ce

qui arrivera évidemment, par exemple, si F'(jr:) eX J\jc) le sont séparément, il existera une cei*taine valeur de x intermédiaire entre x^eX.^^ telle que ce rapport deviendra.

^^ * 77y\ tHt' 9^^ ^^ compris entre la plus grande

et la plus petite valeur que prend 777—7 • Si l'on désigne

cette valeur de x intermédiaire par XoH- 6A, B étant une valeur comprise entre o et H- i , on parviendra à la formula suivante, dont nous ferons les nombreuses applications :

Si Ton avait supposé y*'(j:) constamment négatif, les inéga^ lités n'auraient fait que changer de sens, et n'en auraien pas moins conduit à cette même formule. Il faudra bien s€>

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DBS DIFFÉRElîTIELLES^ ETC. ^2^5

rappeler, dans les applie#îons qu'on en £era, «qu'elle suppose que f{x) soit constamment de même signe entve Xo

elx^-h n, et que le rapport 777— c passe par toutes les valeurs comprises entre sa plus jgrande et sa plus petite, quand X passe par toutes les valeurs comprises entre a^o et

' lft4« Nous «lions déduire de I équation ( i ) 'quelqinss propositions qui nous seront fort utiles par la -suite.

Si Ton avait, pour une valeur particulière Xo de la variable, F{xo) =0^ f{Xn) = o, la formule (i) deviendrait, en posant 6h = Ai, Tii étant moindre que A,

Si Ton avait, en outre, F' (xo) = o^f (xo) = o^ on aurait semblablement, en représentant par F^{x)^ f''{^) l^s dérivées de F'(x), f'(x) ou les secondes dérivées deF(x),

Ai étant moindre que A,, et en supposant que , passe

par toutes les valeurs entre sa plus grande et sa plus petite, et qixe f''{x) soit toujours de même signe. On aura, par auîte.

Si Ton avaitf (xo) = o et f"[x^) = o, on obtiendrait 't^jie formule semblable où entreraient les dérivées de F"[x) ^tf"{x) ou les troisièmes dérivées de F(j:),y(a:).Encon- '^inuant ainsi, et désignant, en général, par f"[x) la fonction qu'on obtient en di£férentiant successivement m fois la

fonction quelconque f (a:), on v^ra que, si Ton a les conditions

et que les rapports des dérivées de même ordre, jusqu'à Tordre n inclusivement, passent par toutes les valeurs entre leur plus grande et leur plus petite, ce qui aura lieu s'ils sont continus, et qu'enfin les dérivées de f soient de signes constants, on aura

F(a:,H-/0 F"(.ro-f OA)

6 désignant une quantité positive moindre que l'unité.

Si toutes les conditions précédentes étaient satisfaites excepté F {xo) = o, on aurait

,,. F(.ro-f-A)~F(^o) F"(^o+eA)

195. Comme application de cette dernière formule, su posons que l'on ait

et que la fonction F(x) ait toutes ses dérivées continu jusqu'à F" (x) inclusivement, entre Xo elx^-h h : les co ditions /{xq) = o, f^Xo) = o,. . ., /""'(^Tq) =o sero évidemment satisfaites 5 de plus f[x)^. . ., f^i^) sont signes constants •, et en supposant toujours que Ton ait

l'équation (3) devient

F(>ro4-/g) — F(.ro) __ F"(.ro-f- Bh) ^ h" I .2.3. . ,n '

d'où

On voit que, sî T accroissement h de x tendait vers zéro, et que F"(xo) fût fini, l'accroissement de F(j:), pour la valeur particulière j:©, serait infiniment petit de Tordre w, c^lui de X étant du premier.

Si Ton a, en outre, F(a:o) = o, la formule précédente devient

(5) F(xo -f- A) = F«(a:„ -4- 0^).

Si OTo est zéro, cette équation se change en la suivante :

et, changeant l'indéterminée h en x^

«n admettant les conditions

On peut remarquer qu'on aurait semblablement

F' (or) = ^ F''(0, :r),

et que, par conséquent, dans ce cas, F{x) est infiniment petit par rapport à F' (x) .

Si Ton n'avait pas F(a'o) = o, on obtiendrait, au lieu de Téquation (6),