Nous déduirons de ce qui précède un corollaire très

Calculinf.D, - I. I «^

aî8 LIVRE II.

simple, et qui nous servira par la suite. Il consiste en ce

que, si — ^ tend vers zéro en même temps que x^ et que

F{x)^ F'^ar) ,F*^x) soient continus entre o et a:, la

fraction pourra se mettre sous la forme — ^^ — ^« En

effet, il résulte d'abord de Thypothèse que Ton doit avoir

car sans cela — ^ serait infini, pour x = o. On peut donc

appliquer ici la formule (6), et Ton voit, par conséquent, que si — ^^^ devient nul pour x= o, on aura

197. L'équation (4), dans laquelle on suppose n = iy devient, en remplaçant par x la quantité arbitraire Xo,

(8) F(.r -f- ^) — F(.r) =--• >%F'(.r + Bh).

Elle conduit immédiatement à une conséquence déjà obtenue précédemment, savoir : qu'iZ ny a qu'une expression indépendante de x dont la déri\^ée par rapport à x soit nulle quel que soit x.

En ellèt, soit V (x) une fonction telle, que pour toute valeur de x on ait F'(a:) = o^ l'équation désignée montre que, quels que soient x qIx -{- A, on aura

F(.rH-^) — F(.r) — o,

puisque ¥' [x -\- Bh) est nul par hypothèse. Donc F(a7) = F(a7 + A), et par conséquent la fonction F (o:), a toujours la même valeur, quelle que soit la valeur de la variable ; elle est donc constante relativement à x^ ou, en d'autres termes, elle ne dépend pas de x.

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. hSq

D'où résulte, comme nous l'avons déjà dit, que deux fonctions qui ont la même dérii^ée par rapporta une même "variable, ne peui^ent différer que par une constante, c'està-dire par une quantité indépendante de cette variable. En effet, la dérivée de la différence de ces deux fonctions, étant la différence de leurs dérivées, est nulle d'elle-même, d'après l'hypothèse; donc cette différence est une constante, comme II fallait le démontrer.

198. Nous terminerons par cette proposition très-importante, que siY{x-^j) tend vers zéro quel que soit x^ quand on fait tendre y vers une certaine valeur particulière a, toutes les dérii^ées de F (x^ y) par rapport à x tendront aussi vers zéro, en même temps que y vers a.

En effet, pour toute valeur de a: et de A, on aura, en vertu de l'équation (8),

(g) F(^ -f- A, j) — F(^, x) = hr{x + 0/r, j),

la dérivée étant prise par rapport à a:, et supposée continue et déterminée pour toute valeur àe x el y.

Or les deux termes du premier membre deviennent nids pourj^ = a*, donc F'(a:-h9A, a) = o.

Et comme x eX h sont arbitraires, on peut affirmer que x-^Bh peut prendre toutes les valeurs possibles, bien qu'on ne connaisse pas la valeur de 0\ car x-^-Qh est toujours compris entre x et j: -h /i, et l'on peut faire eu sorte que X et X'\^h comprennent toujours entre eux une valeur arbitraire x' et s'en rapprochent indéfiniment \ d'où il suî^ que X -\- Bh peut s'approcher indéfiniment de x'^ et que, par conséquent, F'(a:, a) est nul, quel que soit x, si F'(x,j) est continue par rapport kx ely.

De là on déduira semblablement que V[x^ a) est nul quel que soit x, et qu'il en est de même, en général, de F ''(or, a). Et il est évident qu'il en sera de même pour une

26o LIVRE II.

fonction F(a:, j^, z^. . .) qui lend vers zéro, quel que soit x, quand y^ z,. . . tendent respectivement vers a, i,. . ..

199. Il est encore utile de remarquer que, si h tend vers zéro et j vers a, le second membre de l'équation (9) sera infiniment petit par rapport à A, puisque F' ( a: -j- 9A, y) tendra vers zéro \ donc la différence infiniment petite relative à X d' une fonction F(x, j) qui est infiniment petite, quel que soit x^ est infiniment petite par rapport à l'ac-^ croissement correspondant de x.