CHAPITRE Y

DIFFÉRENTIELLES ET DIFFÉRENCES D'UN ORDRE QUELCONQUE DE FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

200. La différentielle dy d'une fonction y de x^ étant elle-même une fonction de x, aura aussi sa différentielle, et ce sera une quantité dont le rapport à la différentielle de X sera égal à la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit àe dy k l'accroissement correspondant de X, Pour plus de simplicité, on prendra pour la différentielle dé j:, dans cette nouvelle différentiation, la môme valeur que dans la première \ et, en général, on lui conservera toujours la même valeur pour toutes les différentiations que Ton aura à effectuer ^ c'est ce que Ton appelle prendre dx constant. Nous représenterons la différentielle de c?;^ par ddj on d^j^ et nous l'appellerons la différentielle seconde de y par rapport à x. De même d^j aura une différentielle que Ton désignera par d^j^ et qui s'appellera la différentielle troisième de j^', et ainsi de suite.

Il faut bien se garder de confondre ces indices de diffé-

rentiation avec des exposants de puissance. Les puissances

successives d'une différentielle dj s'écriraient de la manière

dy^ dy\ dy\,..^ fl[r".

Rien n'est plus facile que d'exprimer les différentielles successives de la fonction F(;r) désignée par j^ au moyen de ses dérivées.

En effet, on a d'abord

dx = W{x)dx^

a6a LIVRE II.

Or la différeiitîelle deF{x)dy sera le produit de dx par sa dérivée par rapporta x, laquelle est F'^(a:)rfx, puisque dx est indépendant de x. On aura donc

On aura de même et généralement ou

tPy=::-F'"{.T)da:*, d'^Y

de sorte que les dérivées successives d'une fonction de x peuvent être considérées comme les rapports des difleren— tielles de même ordre de cette fonction aux puissances d même degré de dx.

On voit par là qu'une différentielle d'un ordre n quel — conque est en général un infiniment petit de l'ordre r«, dx étant pris pour le premier ordre, et que la déterminai.tion des dérivées successives d'une fonction ne diffère- p Sks de celle de ses différentielles.

201. Les différentielles successives d'une fonction ox^t avec les différences de cette fonction des rapports qu'il est essentiel de connaître.

La différence ùkj de la fonction j^ étant elle-même VLYk ^ fonction de x^ a aussi une différence \ il en est de même d « celle-ci, et ainsi de suite indéfiniment. Pour former ces ilî férences successives de- la fonction j^ on suppose que To donne constamment à a: le même accroissement Ao:, et c^ ^ les désigne de la manière suivante :

Les puissances de ùkj seraient désignées comme il suit i

Aj, Aj', Aj»,..., Aj».

CALCUL DES DÉHIVÉES ET DES DIFFÉ11EI9TIELLES, ETC. 263

Or la proposition que nous allons démontrer consiste en ce

que Ton a généralement lim — =r -j-— En effet, on a d'abord

€0 devenant nul quel que soit x^ quand on fait Aj: = o. Prenons maintenant les accroissements que subiront ces deux membres lorsque Ton augmentera encore x de A:r, et

divisons-les par Ao: \ le premier donnera ---=y • Quant au

second, il suffira de prendre sa dérivée par rapport à a: et d'y ajouter une quantité qui soit infiniment petite en même temps que Ax. Mais o) devenant nul avec Ar, quel que soit JT, sa dérivée deviendra nulle en même temps, et par conséquent le second membre diffère de Y"[x) d'une quantité qui devient nulle avec Ao:. En la désignant par coi, nous aurons

en prenant encore les accroissements des deux membres de cette identité, relatifs à un nouvel accroissement Ax, et les divisant par Ax, on obtiendrait semblablemeni

et généralement

<k)„i devenant nul avec Ax.

On a donc, en passant aux limites,

comme nous l'avions annoncé.

264 > LIYB.E II.

D suit de là que si Ton fait tendre Ar vers zéro, en pre-

naiit dx = Aa:, le rapport -—^ aura pour limite Tunîté, et

la différentielle de l'ordre n d' une fonction quelconque de X pourra être prise pour la différence du même ordre de cette fonction, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cette différence.

Cette proposition est très-importante, en ce qu'elle permet de substituer les différentielles d'ordre quelconque aux différences infiniment petites de même ordre, dont l'expression serait beaucoup plus compliquée, et il n'en peut résulter aucune erreur dans les calculs où l'on ne considère que les limites des rapports ou des sommes.

Remakque. — Lorsque plusieurs fonctions, que l'on a à considérer dans une même question, dépendent toutes d'une seule variable j:, les différences premières infiniment petites sont toutes déterminées par Ax, ou par une quelconque d'entre elles •, ainsi ù^y désignera partout le même accroissement, soit qu'on le détermine d'après ^z ou d'après la valeur correspondante de Ao:, en supposant toujours que la valeur de x soit la même. Mais le A*j^ n'aura pas la même valeur quand il exprimera la différence de y par rapport k x ou par rapport à z. En effet, dans le premier cas, il faut considérer les trois valeurs de j^ correspondant à x^ a:-hAx, x-hi^x\ prendre la différence de la deuxième à la première, et de la troisième à la deuxième, puis la différence de ces deux différences. Dans le second cas, il faudra considérer les trois valeurs de y qui correspondent à ^, j2 -}- Az, z-\-2.ùiz^ et agir de la même manière sur elles. Or les deux premières sont les mêmes dans les deux cas -, mais la troisième est différente, parce qu'à X -\- 2/^x ne correspond pas z •+- ^^z : il s'en iaut d'une quantité infiniment petite par rapport à A^, et que

l'on n'a pas le droit de négliger par rapport aux différences du second ordre.

Il est donc nécessaire de distinguer avec soin les différences désignées par A'j^, dans les questions où Ton ne prendrait pas toujours la même variable indépendante. Il en serait de même des ordres supérieurs.