Si Ton considère en particulier les fonctions

j:*, lo^.^, û', sin.r, cosa:,

on trouvera

d'^loQx^r ziii .2.3. . .(/i — i) loge-^)

d^ sin.r = sin [ a: -j- /î - I <ir", d'^ cos.r = CCS ( .r -f- t: — ) da^ ;

et il est bon de se rappeler que le second membre donne la valeur de la différence infiniment petite de l'ordre /i, à une quantité près infiniment petite par rapport à cette différence.

Formule pour la dérwée n^^"" d'un produit, — Soit p == uif^ M et p» étant deux fonctions de x. En différentiant successivement, on trouve

On remarque dans ces premières formules que l'ordre des dérivées de à u est zéro pour le premier terme, et va en croissant d'une unité d'un terme à l'autre jusqu'au dernier, où il est le même que celui de la dérivée de y, L'in-

verse a lieu pour les dérivées de i^ ^ et les coefficients sont ceux de la puissance de même ordre d'un binôme.

Or il est facile de voir que, si cette loi a lieu pour D*^, elle a lieu pour 0"+*^^ •, elle est donc générale. On peut donc écrire la formule suivante :

iy"«p = ujy^u -+- mBujy^-U' -+- ^^^"''^ D»aD'"-»p+...-i- f D'il,

ou

d'^uv d"v du £/*~»p d!^u

—, — = tt-T-z -^ m- -}-. . .4-P-; — •

djcf' dx"" dx dx"'-' tLt"

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉREIiTIELLES, ETC. 267