CHAPITRE VI

DIFFÉRENTIELLES, DÉRIVÉES ET DIFFÉRENCES PARTIELLES DES DIVERS ORDRES, DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VA- RIABLES LNDÉPENDANTES. DIFFÉRENCES ET DIFFÉREN- TIELLES TOTALES.

203. Une fonction de deux variables indépendantes, x €t y^ peut être différentiée successivement par rapport à <:liacune d'elles partiellement, et Ton peut supposer que ces dillerentiations soient en nombre quelconque et se succèdent d'une manière quelconque. Le nombre de ces différentiations constitué Mordre de la différentielle, de la différence ou de la dérivée. Il n'y a rien de nouveau à dire sur leur formation, puisque Ton n'a à considérer à chaque opération qu'une seule variable indépendante. Les dérivées partielles d'ordre quelconque s'exprimeront au moyen des différentielles correspondantes d'une manière entièrement semblable à celle que nous avons trouvée pour les fonctions d'une seule variable. Elles ont aussi les mêmes rapports avec les différences partielles correspondante^ -, et la reproduction identique des raisonnements déjà faits dans le cas où l'on considère toujours la même variable, conduit imtuédiatement à ces conséquences. Nous ne croyons cepenlant pas inutile de donner quelques développements à ce ^itjet.

Désignons généralement par Y^^y%J'" (a:, 7) ou par

^y^'^y^^^ "' u le résultat de m dérivations partielles effectuées ?ar rapport à x sur la fonction u = F(j:, j^), suivies de n rivations partielles du résultat par rapport à j^, lesquelles

seront elles-mêmes suivies de p dérivations par rapport kx\ Ql ainsi de suite.

Désignons de même par rf^^.x^f "m le résultat obtenu en prenant d'abord la différentielle partielle de Tordre m de m par rapport à x^ puis la différentielle partielle de Tordre n par rapport à y de Texpression obtenue \ et ainsi de suite.

Et enfin représentons par ù^^^^^^^'u le résultat obtenu en prenant d'une manière analogue les différences au lieu des différentielles. Cela posé, on aura d'abord, d'après ce que Ton a vu, en traitant les fonctions d'une seule variable, et faisant usage des notations que nous venons d'indiquer.

Considérant maintenante^ comme la seule variable, et prenant la différentielle /i**"** des deux membres, on aura, de la mémo manière,

x.y x,jr \ ' •/ / -^ x,y ' «^

Prenant maintenant la différentielle partielle d'ordre f par rapport à x, et continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra

dx,y,x... "-- Fx, y,a... (:r,x)d.x^djr'*da:P. . .

I>x,:k.^ ... u daf" dx" dacP . . .,

d.ji" dj"" dxP . . . x,jr.x... V-^J) s,j.j...

Les dérivées partielles s'expriment donc au moyen des différentielles partielles correspondantes d'une manière analogue à celle qui se rapporte aux fonctions d'une seule variable.

U y a encore évidemment le même rapport entre ces dérivées et les diflérences partielles correspondantes. En efl'et

on aura d*abord, d'après ce qui a été démontré pour les fonctions d'une seule variable,

Où devenant nul en même temps que Ax. Prenons maintenant la diflTérence n'*"** des deux membres par rapport à j^, et divisons-la par Aj" 5 il faudra, par les mêmes raisons, prendre la dérivée partielle n'*"** du second membre par ra£> j)ort à j^ et y ajouter une quantité qui devienne nulle av^o ùy. Si, de plus, on observe que, co devenant nul avec Aa:r ^ il en est de même de sa dérivée n'*'"" par rapport à j^, ^lï- ^n conclura l'égalité suivante :

^i ^3evenant nul quand on suppose que Ax et Ay le devien-

^^ ^^^^i tous les deux.

-ï^renant actuellement la différence de Tordre p des deux ^^^^mnbres par rapport à x^ la divisant par Ao:^, et con- ^"^^"^aant ainsi indéfiniment, on obtiendra la formule géné-

à^xf" àx" XxP . . . ''^''•

^ ^^evenant nul quand Ar et Ajr le deviennent tous les

dt:^

l)'où Ton conclut enfin, comme pour les fonctions d'une e variable,

\m-¥-n -^ p. .. ^ Aa:"' A/" Aa:/' . . . w»-'-- ^ ' «^ >

djfdy''dxP. . . W-f-

270 LIVRE n.

et il en serait de même pour un nombre quelconque de variables indépendantes.

Les notations que nous venons d'employer peuvent être simplifiées au moyen d'une proposition fondamentale que nous allons démontrer.

204. De l'ordre dans lequel se succèdent les différen-tiations. — Si Ton prend les différences successives d'un^ fonction par rapport aux diverses variables indépendante qu elle renferme, on arrivera toujours au même résultai dans quelque ordre qu'on effectue ces opérations, pourv qu'on ne change pas le nombre de celles qui doivent et faites respectivement par rapport à chaque variable.

Soient, en effet, x el y deux des variables dont dé une fonction i/.

Si Ton change d'abord x enx-^ Ao:, u devient

si dans cette expression on change j eny -^^ Aj^, elle devient

et l'on a ainsi ce que devient u quand x eX j sont changée en a: 4- Ajc, j -f- ày.

Or, en faisant les substitutions en ordre inverse, on aur^

u -4- AyW -f- Ax« H- A «,

et ce résultat doit être identique au précédent, puisqu" exprime toujours la fonction u dans laquelle x el j so' changés eux -h Ax, y -f- A^.

Donc on a identiquement

Si maintenant on divise les deux membres par ^x£

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 9.y l

qu'on passe aux limites en faisant tendre Ar et Ay vers zéro^ on en conclura, par ce qui précède,

et, par conséquent.

Si Ton prend successivement un nombre quelconque de dîflférences, de diiFérentielles ou de dérivées partielles, il est facile de voir que Tordre dans lequel on les prendra est complètement indifférent. En eifet, deux de ces opérations succîessives pouvant être changées d'ordre, on pourra faire arriver au premier rang celle que l'on voudra, en la faisant avfitt:icer successivement d'un rang vers le commencement ; ^Q. amènera ensuite au second rang celle que l'on voudra fes autres, et enfin on les placera toutes dans un ordre quel- ^*=^^ue, sans que le résultai cesse d'être identiquement le

i&M-fc^e.

»'après cela, on pourra supposer que toutes les diflFérenions par rapport à la même variable soient faites consé- ^^ivemeut, et les notations précédentes seront simplifiées ^ ^^e qu'elles ne renfermeront qu'une seule indication pour <jue variable : et c'est ce que nous ferons dorénavant, simplifie encore l'expression des dérivées partielles

écrivant -; — ;— au lieu de ^'^ , — > parce que les expo-

\& de dx et dy sufiisent pour indiquer le nombre des T'^ïerentiations effectuées par rapport à chacune des va- ^^l)lesa:etj^.

iMais si, pour avoir la différentielle partielle correspon-

^tite, on faisait la multiplication par d3C"*dy^ en suppri-

^^nt le dénominateur, on obtiendrait d'"+"M, expression

272 LIVRE n.

qui ne renfermerait plus aucune trace des dîfierentiations eiTectuëes. On est donc obligé, pour que la notation ait un sens déterminé, de conserver le dénominateur, et d'écrire ainsi cette différentielle,

Elle serait représentée beaucoup plus simplement par \^

notation déjà employée, d^ ^^u.

Le système de notation de Lagrange s'applique aux fotxc^ tions de plusieurs variables *, mais nous n'en parlerons pas vu que les géomètres n'en font pas usage. La notation de Leibnitz a prévalu, parce qu'elle a surtout le grand avantage de mettre en évidence les différences infiniment petites, dont la considération est si utile dans toutes les recherches qui dépendent des Mathématiques.

Différentielles totales des fonctions de variables

indépendantes.