Soit
X Cl y étant indépendants \ nous avons vu précédemment que Ton avait
du du
au rri — - A.r -h -- ^r -f- w, dx dr
co étant infiniment petit par rapport à Ax, Ay, Au, qu Ajc et ^y tendent vers zéro,
La somme des deux premiers termes jouit donc, par port à l'accroissement total Au, de cette propriété rc quable, d'être égale à la différence elle-même, à une tité près infiniment petite par rapport à cette diffé D'après cela, l'analogie nous conduit à donner le r
difiereutielle totale de u à Texpression suivante :
du ^ du ^
dx et dy étant des quantités indéterminées et indépendantes que nous nommerons les différentielles de x et r. Elle jouit de la propriété que, lorsque dx et dj seront considérés comme les accroissements infiniment petits donnés k X et j^, elle pourra être prise pour Taccroissement total de u^ en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à cet accroissement.
Nous désignerons cette diiTérentielle totale par rfu, et il faudra bien la distinguer des du partiels qui se trouvent dans le second membre et sont différents Tun de l'autre. Pour éviter toute confusion, on devra se garder de supprimer les facteurs communs dx et rfy, et écrire
du ^ du ^
On peut encore écrire
du ■=. djfU -\- djU*
Ces considérations s'appliquent à un nombre quelconque de variables indépendantes, et la différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables indépendantes sera toujours la somme de ses différentielles partielles relati\^es à chacune de ces variables.
Cherchons maintenant l'expression des différentielles successives de u. Et pour cela remarquons d'abord que la
df+Pu différentielle de - — ^— sera, par la règle qui vient d'être
démontrée,
-; ■ ; dx H ; ; dV m
d.ff^'dyP dx^djP^' -^ '
Calcul inf. D. — l. 18
^y4 LIVRE II.
elle se formerait donc en multipliant par — dx -i- j- dj
l'expression proposée — » pourvu qu*on y considérât
Tindice du numérateur comme un exposant, et qu'après la multiplication on changeât l'exposant des numérateurs en indices de diflFérentiation. D'après cela, si l'on part de la formule (i)^ la différentielle du second membre s'obtiendra
en le multipliant par — dx + — dj^ et faisant le changement des exposants en indices. Il en sera de même pour la différentielle de ce résultat 5 et, par conséquent, en désignant par rf"* u la différentielle totale de l'ordre m de m, on aura la formule symbolique
(du du \"'
en entendant toujours que les exposants des du dans le second membre seront changés en indices de différentîation, ainsi que dans le troisième, où les notations x, y resteront invariables. On peut encore l'écrire ainsi :
d"'u=z{dx-^ d^Yu.
Comparons maintenant d'^u k\di différence totale ÙT'u» Reprenons pour cela la formule
du du
au =^ —- àûc ~\- —- Ar -{- w, dv dy
dans laquelle nous supposons Ax et ùij infiniment petits, et donnons à a: et j^ les mêmes accroissements Ajc, Ar.
L'accroissement de -r- calculé semblablement s'obtiendrait
, . ,, du du . du .
en multipliant — par — ûiX 4- -7- O^y^ et ajoutant une quan-
ité infiniment patite par rapport à l^x et ^j \ il en serait
de même poup l'accroissement de — • De sorte que Tac-
croissement de — Aj: -f- — ^y sera représenté symboliquement par le carré de cette expression, dans lequel on changera les exposants de du en indices, plus une quantité infiniment petite par rapport aux quantités Ax*, Aj: C^y^ Ay*. Or nous savons que w se compose de termes qui ont en facteurs, les uns Ax, les autres Aj^, et en outre d'autres facteurs qui deviennent nuls avec Ax et ^y ainsi que leurs dérivées \ d'où il suit que F accroissement de w sera infiniment petit par rapport aux mêmes quantités Ax*, Ao: Ay, A^*. On a donc la formule symbolique
dx
du y
<ù' étant infiniment petit par rapport aux quantités Ax', AjrAj^, Aj^'. En continuant ainsi, on parviendrait saus difficulté, quel que fût le nombre des variables, à la formule symbolique générale
[du
du ^ '" djr
o) étant infiniment petit par rapport au produit de m facteurs Ar ou A^.
On a donc aussi cette autre proposition générale :
La différentielle totale de l' ordre m d' une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes dans laquelle on prend rfx, rfy, . . . égaux aux accroissements ÎTifiniment petits de ces variables ne diffère de la diffé^ rence m***"* correspondante que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même,
Reicirque GÉNÉRALE. — Lorsquc Ton cherchera une équa-
tîon entre les diflerentîelles d*ordre quelconque de fonctions quelconques, et que, pour y parvenir, il sera avantageux de considérer d'abord des différences infiniment petites, on pourra substituer les différentielles aux différences correspondantes, et négliger toute quantité infiniment petite par rapport à celles entre lesquelles on cherche la relation-, car si Ton divisait Téquation exacte par une des différences, élevée à une puissance convenable, et qu'on passât à la limite, les rapports des différences seraient remplacés par ceux des différentielles, et l'on aurait Téquation même à laquelle on serait parvenu en négligeant des quantités nécessaires pour Texactitude de Téquation entre les différences, mais qui disparaissent de Téquation exact.^ entre les différentielles considérées comme des quantité < infiniment petites ou finies.
