CHAPITRE V

DIFFÉRENTIELLES TOTALES DES DIVERS ORDRES DES FONC TIONS DE PLUSIEURS VARLVBLES DÉPENDANTES.

206. Si les variables x et j^, qui entrent dans la fonction M, étaient elles-mêmes des fonctions de variables indépendantes, les différentielles totales de u changeraient toutes de forme, excepté celle du premier ordre, parce que les facteurs rfx, dy ne seraient plus constants.

Ainsi la différentielle première de u aurait toujours pour

expression

du . du ^ du =z.- —-dx -{ — — dy, dx dy

Mais, en différentiant cette expression, il s'introduirait les

termes

du du ,

dx dy

et Ton formerait cPx^ d}j en fonction des variables indépendantes et de leurs différentielles, d'après les formules précédentes. On aura ainsi

d^u . , d^u , , d^u , du , du ,

et d} u jouira, par rapport à A' u, de la propriété qui a été démontrée indépendamment de la forme qui pourrait résulter de variables intermédiaires entre u et les variables indépendantes.

278 LIVUE II.

On trouveraît de même les diflFérentîelles totales des ordres suivants, et pour un nombre quelconque de variables supposées dépendantes d'autres quelconques. Si, parmi ces variables, les unes étaient dépendantes et les autres indépendantes, il suflSrait de supposer nulles les différentielles de ces dernières, qui passeraient de premier ordre.

Cas particulier où x et y sont des fonctions linéaires. — Si j: et j^ étaient des fonctions linéaires des variables indépendantes, dx et dj" seraient constants, quelles que fussent les valeurs des variables \ on aurait donc

«f j? = o, ifjr = o, ^.r =r o, . . . ,

et, par conséquent, on retrouverait la formule symbolique

(du du \ *"

qui s'étendrait à un nombre quelconque de variables.

Différentielles des dis^ers ordres des fonctions implicites»