Supposons d'abord la fonction implicite u dépen

dante des variables x et y^ et déterminée par une équatior»-

unique

F(-^» Ji «) = o; nous aurons

^/F , ^F , dY ,

-7- dx -f- -7— dr -f- --— du = o, dx dy du

d'où Ton tirerait rfa, comme nous Tavons déjà vu.

Différentiant encore cette équation par rapport à toute ^ Jes variables, et observant que du n'est pas constant, i-*

*^ \ vient !i/ iPT d^Y tPF dr-Y

-4- 2 -; ;- dxdu H- 2 -; — UY du H r— rf^tt = QI

dxdu dj du du

d*où. Ton tirerait d'w, et ainsi de suite. On agirait de la même manière pour un nombre quelconque de variables indépendantes. Si u ne dépendait que d'une variable Xy cette équation se réduirait à

d'Y d'Y d*Y dY

--— djc^ ■+■ 2 -r — z- dxdu H — ; — du^ -f- —— d^u = o.

dx^ dxdu du^ du

\. Si Ton avait deux équations, il y aurait deux va- ^^^l^les, fonctions de toutes les autres ^ et dans ce c^as on ^^ff^irentierait successivement chacune des équations, en ^^stinguant bien les variables dépendantes des indépen- ^^^ï^i^tes : on déterminerait ainsi les différentielles secondes, ^'"^^îsièmes, etc., des deux fonctions; et Ton agirait de la "^^ïne manière dans le cas d'un nombre quelconque d*équa-

ient, par exemple, les deux équations

y ^t u sont des fonctions de la variable indépendante x. On aura d'abord les deux équations

dY ^ dY ^ dY ^

dx dy du

^*oii Ton tirera dy et du. En différentiant ces deux équa-

28o LITRE II.

lions, on obtiendra tP¥ iPF ePT iPY

^F iPY dF dF

H- 2 - — ;- dxdu + 2 -r — ;- drdu •+■ — — d^r 4- -r- d^u r=0^ dxdu dydu dy du

d^f d}f df df

-f- 2 , , dxdu -\- 2 ^ , ^£/tt 4- -f- ^» r -f- -— CP m r=: O ,

dxdu djrdu djr du

d*où Ton tirerait rf* a et d}y^ puisque dy et rfu sont connus. On obtiendrait ainsi les différentielles de tous les ordres de y et M.