CHANGEMENT DE VARIABLES

209. Cas d'une seule variable indépendante. — Nous considérerons d'abord les fonctions d'une seule variable indépendante -, et Tobjet que nous allons nous proposer est d'exprimer toutes les dérivées d'une fonction y par rapport à une variable x dont elle dépend, au moyen des dérivées successives d'une autre fonction u par rapport à une variable f, regardée comme indépendante.

Toutes les quantités dépendent d'une seule variable : ainsi Ton a trois équations entre x^ j^ m, t, ou deux seulement, en laissant de côté celle qui exprimera la relation entre x ely. On voit que, en vertu de ces trois équations, ou peut considérer u comme une fonction de t, et ce sont les dérivées de u par rapport à t que l'on veut faire entrer dans des calculs où se trouvent les dérivées àey par rapport à x.

Pour cela nous allons d'abord exprimer les dérivées de y par rapport à x^ en fonction des dérivées de x et y par rapport à une même variable indépendante t dont elles seraient regardées comme fonctions. Ces formules seront les mêmes, quelle que soit la forme particulière, tant de l'équation entre x et j^, que de celle qui doit lier en outre x et y avec t. Nous montrerons ensuite comment les dérivées de a: et j^ par rapport à t peuvent s'exprimer au moyen de celles que l'on veut introduire, qui sont celles de u par rapport à f . Ce dernier calcul dépend des équations qui lient X e\ y avec t et m, et peut-être encore avec d'autres variables; et le nombre des équations doit toujours être tel.

qu*il n'y ait qu'une seule variable indépendante, comme nous l'avons supposé.

210. Pour exprimer les dérivées de y par rapport à a: au moyen de celles de x et y par rapport à f, nous observerons que, d'après le principe des fonctions de fonctions, ou

dy dy dt , dt \

• dx . dt dx * * dx dx

'di

dy.

Passons maintenant à l'expression de --r-^* Nous diflFérentie-

rons pour cela les deux membres de cette équation par rapport à X \ mais, afin de n'introduire dans le second membre que des dérivées par rapport à f, nous le différentierons

d'abord par rapport à f, puis nous multiplierons par — >

OU nous diviserons par -^» Nous obtiendrons ainsi

^ dt

dt^

dx'

/ dx

De même, pour obtenir -7-^» nous différentierons le second

dx membre par rapport à f , puis nous diviserons par — • Et en

continuant ainsi, il est clair que l'on aura l'expression de toutes les dérivées àaj par rapport à a:, au moyen de celles de JC et j^ par rapport à une variable quelconque f, dontx etj^ seraient dépendants.

On peut, au lieu de dérivées de j: et / par rapport à t,

introduire leurs différentielles*, il suffira de supprimer le diviseur dt^ et fl viendra

d^X d^ydx — d^xdy

Ces premières formules se rapportent au changement de la variable indépendante seulement.

Si Ton suppose que la variable t soit la fonction y ellemême, on aura les dérivées àey par rapport à x^ exprimées au moyen de celles de x par rapport à y^ quelle que soit d'ailleurs la relation entre x eXy. Ces formules seront

d^x ^ — JL ^^ — ^^^

dx dx dx* (dx\*

dX \d^l

2H. Considérons maintenant le cas général où Ton aurait, entre m variables j:, j^,. . ., m, t, les m — 2 équations

Sans compter l'équation qui donne y ^^ fonction de x. Si l'on différentie ces m — 2 équations par rapport à t, on

• dx dY /» • 1 du. 1 » 1

pourra exprimer — » -^ en fonction de — par la résolution d'équations du premier degré.

Différentiant de nouveau ces équations, on introduira les dérivées secondes par rapport à f , et il y restera des dérivées premières que Ton pourra remplacer par leurs Valeurs, tirées des premières équations. On pourra donc encore, par la résolution d'équations du premier degré, tirer

I , , d}x d}y T d}u du

les valeurs de -5—» -^ au moyen de -^ ®* j>'

Eji continuant ainsi, toutes les dérivées de a: et de ^ par

rapport à t seront exprimées au moyen de celles de u par rapport à t'^ et comme nous avons donné les formules géné-

<! , . dy d^Y 1 dx d}x

raies qui expriment -^ > -7-^ v • au moyen de — > ■— 5 • • • ?

dy d}Y ., , . ,, K dy d}y

-j-j ■;t7v • '5 11 s ensuit que 1 on connaîtra —1 ~ri'* * * ^^

, du d}u .,.,,,. Ti

moyen de — ? -j^t' • • ce qui était 1 objet de la question.

Si, au lieu d'équations finies, on avait des équations différentielles, il faudrait toujours cherclier à en déduire

d.T d}x dy d}y , du d*u ,,

-7-' -TT'* •• ' -7-9 -TT' •• • au moyen de -r-? -^r v «s et 1 on

dt dû dt dO ^ di dt^

agirait ensuite comme dans le cas précédent. Supposons, par exemple, Féquation

dv d^ Y

et proposons-nous d'exprimer — 9 -y^ 5 • • • au moyen de

dx d^x . . . . , . dy d^y

— 5 -— - ? • • • • La question se réduit ici à exprimer — ■> —-5

, dx d^x

au moyen de —-> -yj?

dt df

Or on aura d'abord

dt V

dx''

dt'

Pour avoir -^5 on différentiera Téquation donnée, et »

viendra

dx d\T dy d-Y

doù

dt^'

uii uiiicicuticxa X

dx d'^x dy d'^y dt dt^ ' dt^ dû

dx d^x

dt dû

dt''

dx d^x Tt dû

I dx:'

Une nouvelle différentiation ferait connaître — rr-» et ainsi

de suite.

Ce cas est celui où Ton déterminera une courbe par une

équation entre Tare et Fabscisse.

212. Céis de plusieurs variables indépendantes. — Considérons maintenant une fonction z de deux variables indépendantes x, y. Sa forme n'est pas connue, et l'on ne doit pas avoir besoin d'en faire usage ^ mais on doit toujours raisonner dans l'hypothèse qu'elle existe.

La question que nous nous proposons est de déterminer les dérivées partielles de tous les ordres, de z par rapport à x: et j^, au moyen de celles d'une autre fonction r par rapport à deux autres variables indépendantes (f et 0, en supposant qu'il existe trois équations entre x^y^ z, r, cp, 6,

, X I F(X, J, Zj 0, Ç, r) =: O, F, {Xy J, z, 0, (p, r) = o, ( Fj(ar, j, z, 0, <f,r)=o,

Ig sorte que quatre quelconques de ces six variables peuvent '^'"e regardées comme fonctions des deux autres, qui seront întièrement arbitraires.

Cela posé, diflerentions successivement r par rapport à chacune des variables x et j^, la seconde étant supposée '^listante: et considérons r comme dépendant de 0 et y, qui ^^X-mômes dépendent de x et y. Nous aurons ainsi

^ V dr dr dB dr dtp dr dr dQ dr do

dx dQ dx df£lx djr dB djr df dy

H faut maintenant éliminer de ces équations les dérivées ^ </» dr dB do dr , j»/*»^ ^•

?r» — ^, — 9 — 9 -^7 —-j et pour cela nous dilierentierons •^ dx dx df djr df ^

286* LIVKE II.

• d'abord les équations (i) par rapport à X'^ d'où

d¥ dQ dY d(D dF dr d¥ dF dz

d9 dx dff dx dr dx dx dz dx '

dFx dB dF, d(f ^F, dr rfF, rfF, dz __ dO dx d<f dx dr dx dx dz dx '

dF^dB dF^diû dF^dr dF^ dF^dz

dB dx d<f dx dr dx dx dz dx ,, , • . dB do dr /» • j dz

dou nous tirerons -r-» -7^5 -7-: en fonction de -r- et

dx dx €lx dx

reportant dans la première équation (2), nous en tirerons

immédiatement -7- en fonction de -— 5 -r- •

dx dB dff

Différentiant de même les équations (i) par rapporta j'

et faisant usage de la seconde équation (2), on obtiendra

— au moyen de — > —5 ce qui était l'objet que Ton s'était

proposé.

dr dr On conclurait facilement de '^ ;y^> ;t- au moyen de

dz dz

— > — > par la résolution de deux équations du premier

degré \ mais on pourrait d'ailleurs les obtenir directement en suivant une marche inverse.

On passera aux dérivées partielles du second ordre en

diflerentîant — 5 — par rapport à :c et j^, on sera ramené