IX
à difierentier — j — par rapport à x et j>^ : et on les traitera
comme on a traité r, ce qui introduira les dérivées du second ordre de r par rapport kO et y.
^ . " j'/v/ .• ^Q ^? ^^ dfo
On aura en outre a dilierentier -7-5 —? -t-j —-j ce qui
dx dx dy dy
introduira des dérivées partielles du second ordre de z par
rapport à :r et j", dont on aura ainsi les valeurs*
Il est facile de voir que cette méthode s'applique à un nombre quelconque de variables indépendantes, et s'étend aux dérivées de toutes les autres.
213. Nous examinerons, en particulier, le cas d'une fonction u de trois' variables indépendantes ar, j^, ^, qui doivent être remplacées par trois autres variables indépendantes r, y, 0, liées à x^ j"^ z par trois équations connues ; dans ce cas, il s'agira d'exprimer toujours les dérivées partielles de u par rapport à a:, j^, z au moyen de ses dérivées partielles par rapport à r, ç, 0. Ce problème renferme celui de la transformation des coordonnées dans des équations aux différentielles partielles où la variable principale est une fonction de trois coordonnées.
Considérons u comme fonction de 0, y, r, et ces dernières comme fonction de jo^jr^z'^ et différentions u partiellement par rapport à Xj y^ z, nous aurons
/' du \dx~
du r/G d9 dx
du do du dr d-f dx dr dx
\du
dudQ dO dx
du do du dr
. 1. - - ■ 1 - - ^ d(f dx dr dx
\ du
Xdz"
dudB dB dz
du d^ du dr
d^ dz dr dz
Or, au moyen des trois équations entre x,^ y^ z, 0, ç, r, on peut déterminer les dérivées partielles
rfo
df
df
dr
dr
dr
dx
dx'
dx'
dx'
dz'
dr'
dx'
dz'
et par conséquent les équations (3) donnent les valeurs des dérivées partielles de la fonction u par rapport à x, j^ jz^ au moyen de celles de la même fonction par rapport à e, cf , r.
La resolution de ces trois équations ferait connaitie
du du du ^ du du du , . ,
-—, -— > -r-j au moyen de -r-» -r-» -r-; mais on pourrait les dQ dtf dr •' dx dy dz^ ^
trouver directement par une marche inverse de la précédente.
En différentiant les équations (3) successivement par rapport à x, r, z^ on exprimerait les dérivées du second ordre par rapport aux variables indépendantes d'un des systèmes, au moyen des dérivées du second ordre par rapport aux variables de Tautre \ et Ton continuerait ainsi indéfiniment.
Ainsi, par exemple, en diilérentiant — par rapport
à or, on serait ramené à former les dérivées partielles de
du du du , , i> /• .
— î — 5 — par rapport a x, et c est ce que 1 on ferait en
du du du . 1» 1 1
traitant -—-9 -r-» -;- comme on avait d abord traite m, ce «9 «(p dr
qui introduirait les dérivées du second ordre de u par rapport à 9, ç, r, tout le reste étant connu.
214. Appliquons ce procédé à une transformation qui se prosente souvent dans les questions de Mécanique et de Physique mathématique.
Soient X, y^ z les coordonnées rectangles d'un point, et /', 0, i^ ses coordonnées polaires, de sorte qu'on ait entre ces six variables les trois équations
szrz/'cosô, j^ = rsinô sin^J^, ^ :=:=^ rsinO ces •.{)•,
on trouvera, au moyen de la méthode que nous venons d'exposer,
du fin , ^// ros <5 cos i!; du sini[>
— - = — sinô cosil; -h -— '■ ~ — r—it
dx dr ^ d^ r d^ rsmô
du du , ^ , , du cos9 sm-h du cos-i;
-- — -,- sinO sin J; + — '- -T- — ——-i
df dr ' d^ r d-^ /'Sinô •
du du ^ du sin9
-— — —- cose — — ,
az dr dO r
^*tt . .* . . . ^'" cos'Osinilcos\I» d^u sin^fcos^»
= -7T S"l^ Sm^J/ COS\p -4- — -- -^ 77- — /. ^^
dr* T T ^Qj ^3 ^^» r'sm»e
d^u sîn0cosOsin>|*cosnp /£*« /cos'ip — sin'^j*
é/ôfi?r r d-^d^ \ r
d^u (cos'i); — sin'x|*) cosô du sin*ô ûn^ cosx|*
£A(»£fô r^sinô dr
Jiicos9sin\pcosi[i
€fô r
/ . ^ I \ du fsinH — cos'^^\
d^u , ■ ^ , éf^M sinOcosOcosnti
= -r— sinô cosO cosJ/ —- ;
dr^ ^ d^^ r*
d^ u (cos* 9 — sin' 9) cos np d^u ÛH'^ cos 9 ^' « sin ^[» i/9€fr r ^4^û?r rsin9 59SJ1 r*
<£« ( sin* 9 — cos' 9 ) cos >[; du sin 9 cos 9 cos i}> 59 H 57 r '
^'" • ^ ^ . I ^'" sin 9 cos 9 sin \I>
—z — sin9 cos9 sin\p i-
dr^ ^ dd' r*
d^u (cos' 9 — sin'9)sini{> d'u cos>{;cos9 ^*k cos^|> dBdr r d^dr rsin9 ûf9^>|i r'
</a ( sin' 9 — cos' 9 ) sin ip du sin 9 cos 9 sin ^p 59 r^ 5r ^^^ '
«* <3?'tt . ,^ .. /f'tt cos'9cos»\|» rf'tt sin'\t
:r =. -r— sm*9 cos'^^ H ^ H ^-
^ dr* ^ ^ ^9' H J,];' r'sin'9
rf'ii sin 9 cos 9 cos' 4* d^u sin^^cos^^
fi?9i/r r d^dr r
d^u sin>|* cosip <itt cos' 9 cos'>p H- sin'x|» £/9rfi|> r'tang9 5r r
é/M /sin'\L — 2sin'9 cos'>L \ éfw sin^; coi
-;-eos9 ; 1 14-2 -9
dQ \ r'sin9 ) d^ r'sin'*
cos^l* Cale, in/, D, — 1. ig
ago LiYRB II.
d^u d^u ...... d^u cos*Osîn*J» d*u cob'-ïL
É&^» dr^ ^ dO' r» liif^ r» sind
éf^tt sin0cos9sin^ili c^'u siiiilcos4f
'^^':mT ^-^^-iTT — ' — ^
dBdr r d^dr r
d*u sini|> cos>{> £fOc/^{> r'tangO
du /cos*ô sin'ij* -f- co8*4»\
dF [ ? ;
du ^ /cos'\t — 2sm'G sm'ilX du sin^pcoi
-TT COSÔ ( ^ r-^—r î I — a -TT , . ,
