APPUCATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

215. Détermination des valeurs particulières des fonctions qui se présentent sous les formes -? ^ïooXo,i",

00 ®, o®. — Lorsqu'une fonction est le quotient de deux autres fonctions de :r, et qu'une valeur particulière de x rend ces deux dernières nulles ou infinies, la valeur de la première

se présente sous la forme - gu ^ » et, dans ce cas, on peut

se proposer de déterminer la valeur vers laquelle converge la fraction donnée, lorsque x tend vers cette valeur particulière : c'est cette valeur limite que Ton désigne souvent sous le nom de vraie valeur de la fraction qui se présente

sous la forme indéterminée - ou ^ •

Cherchons d'abord la limite de .] ; lorsque x tend vers une valeur Xq telle, que l'on ait

F(x«)=o, /(xo) = o.

Soit h une quantité tendant. vers zéroj on aura, d'après le

ionc

/(x) '""/'(x)' lorsque x tend vers a:,; et, par conséquent, si F' (a:,) et

f^{xo) ne sont pas nuls ni infinis, la limite cherchée sera Si Ton avait encore

la limite de ^, , ; serait la même que celle de j,„) ;> et

ainsi de suite.

Si donc toutes les dérivées jusqu'à Tordre n exclusivement deviennent nulles pour^r = aro? la limite cherchée sera

celle de : -, et si F" [x^) et /^ [x^) ne sont ni nulles ni

infinies, on aura pour valeur de cette limite

Si l'une de ces dernières dérivées est encore nulle, la limite sera zéro si c'est F" (a:o) qui est nulle, et la fonction croîtra sans limite si c'est y* (xq).