Supposons maintenant

F(aro) =00 , /(aro)=oo , d'où

Fl^o) ' /(^o)

Remplaçant Yi\ ^^^ Texpression identique •^-i— ^ , et ap-

pliquant à cette dernière la transformation précédente, on

/ [x, '¥h)'~ T "" W[x,-^Bh)

Y[x,-\-h) F(xo-+-ÔA)-' __ FF (0-0 + 0^)1 V'(.r,-f-eA)

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉKENTIELLES, ETC. ^gi

Nous considérerons d'abord le cas où ^; ; tend vers une

valeur finie A difierente de zéro. L'équation précédente donne alors, en passant aux limites,

A = A»lim-^j^, d'où A = liin?^,

ce qui donne la même règle que dans le cas où l'on a

F(:ro) = 0, /(aro)=:0.

Supposons maintenant que 77— f tende vers zéro. En y ajoutant une quantité constante M, on formera la fraction — ^ — -rr. — ^ — dont la limite sera M 5 et, par conséquent,

on rentre dans le cas précédent. D faut donc prendre les dérivées des deux termes et y faire tendre x vers Xo ^ ce qui

donne pour la limite — ^ ^^, — "^ ^ ^ ou / -{- M , et comme cette limite est M, on aura ^,] , = o: donc, dans ce cas, on obtient encore la limite de ^; / en cherchant celle

Enfin, si ^; : croit indéfiniment, ~-\ tendra vers zéro;

il en sera donc de même de ~,\ [ » comme nous venons de le

démontrer. Donc j,,\ , croit indéfiniment. Donc enfin, dans

tous les cas, on trouve la même limite pour 777— ( aue pour

^4 UYRE II.

La règle est donc la même pour les fractions qui se r^ duisent à ^ c[ue pour celles qui se réduisent à -•

On agirait de la même manière sur -rA — r ri «es deux

termes devenaient encore infinis pour x=:Xo'^ mais si toutes les dérivées successives le devenaient, cette méthode ne serait plus applicable^ et ce qu'il y a souvent de mieux à faire dans ce cas, c'est de remplacer x par Xo+hel d'effectuer les réductions.

Ainsi soit, par exemple, la fraction

ses deux termes deviennent nuls pour x = j:», et toutes les dérivées deviennent infinies ; mais si l'on pose x = x^-^-h^ elle devient

' ou

supprimant le facteur commun A*, il reste p»

dont la limite est zéro quand h tend vers zéro.

217. La valeur x^^ étant arbitraire, peut être supposée aussi grande que Ton voudra, et, par conséquent, les règles précédentes s'appliquent au cas où Ton a Xo = 00 ; mais la démonstration directe ne pourrait plus se faire de la même manière dans ce cas, et il est bon de l'examiner à part.

Si Ton pose a: = - ? on aura

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DBS DIFFÉEESTTIELLES, ETC. 2IQS

jK»teiidant vers zéro, il n'y aura aucune difficullé, et Vjon aura, par la démonstration précédente,

lim-^^-Hm ^^^"^ =lim Y'.

On aura donc aussi

Jc croissant indéfiniment.