Considérons maintenant une expression de la forme

F(^)/(*)5 son logarithme est

/(:.)logF(x),

et rentre dans une expression que nous avons examinée. Si donc on peut déterminer par les règles précédentes la vraie valeur de ce logarithme, dans le cas singulier où les fonctions logF(:r) çxf[x) seraient, la première infinie et l'autre nulle, on en conclura immédiatement celle de l'expression proposée.

Examinons en particulier l'expression

Y{xy

dans le cas de a: == oo , et supposant F (oo ) = ao • Le logarithme de cette expression est

logFM^

et sa limite est celle de .^ . » que Ton peut traiter par les règles précédentes.

Mais si Ton applique k — — ^— la règle particulière du n^ 219, on trouvera que sa limite est la même que celle de

F (x -4- t) logF (a: -i- i) — logF(x), ou log - '•

i Ff.r -f- 1)

Donc la limite de F {x)' est la même que celle de — ^r— —

quand x devient infini. Cette règle avait encore été démontrée par M. Cauchy.

Si Ton a F (00 ) = o, on posera

Mais cp (00 ) = 90 *, donc

et

limF(jr)' = lim / ^ , =lim — ^-, . *

221. L'application de ces diverses règles conduit à quelques résultats particidiers qui méritent d'être re-

^gS LIVRE II.

marqués :

— = QO pour x=.Qo SI 1 on a «>i,

Xoi'x

—2— =: o pour J- =: QO , X \o^x = o pour jr = o,

aref* = oo pour x = o,

X* = I pour x = 00 ,

(Aa:^-4-Ba*-'-l-...-f-U)' = i pour a?=QO, x*= i pour a: = o.

(cosmxyz=:i pour J7=:0, (n-^)' = e pour j7 = o.