CHAPITRE Yni

DÉVELOPPEBIENT DES FONCTIONS.

222. Série de Taylor. — La série que nous allons faire connaître a pour objet de développer raccroissement d'une fonction suivant les puissances entières et positives de Taccroissement correspondant de la variable dont elle dépend. Ce sera une généralisation de la formule donnée au n? 71 .

Désignons par a: et a: -H A, ou par a: et X les deux valeurs quelconques de x que Ton considère, par Fia fonction; û s'agit de développer F (ar -+• h) — F(a:), ou F (X) — F (x), suivant les puissances de la différence A ou X — x. Nous donnerons à cet effet deux formules qui différeront par la forme du reste qui complète la série, et pourront être utiles dans des cas différents.

Première formule. — Commençons par écrk« un nombre quelconque n de termes déduits suivant la même loi que si la fonction était entière et rationnelle; et désignons par /(A) la fonction de a: et de A, qui, ajoutée à ces termes, reproduit F{x -^ h) : nous aurons, sans aucune exception, si les fonctions F, F',. ., F"""* sont continues,

F(x-4-^) = F(^)-f-AF'(x)-4-— F"(x)H-...