FI— )(*)+/(A

et la fonction à déterminer eslf(h). Les dérivées des deux membres par rapport k h^ en laissant x constant, étant né-

3oo LIVRE II.

cessairement identiques, on reconnaît sans peine que f[h) et ses (/i—ri) premières dérivées deviennent nulles pour A = o, et que

Donc, d'après une formule démontrée précédemment, on aura

et, par suite,

( F(a: + Â) = F(x) 4- AF' (ar) 4- — F'' (ar) 4- . . .

H ^ F«-«(^) 4- ^ F^fjT + ÔÂ).

Cette formule donne la solution de la question, et montre dans quel cas elle est possible. En effet, si rexpression

F"{a? -4- Oh)

tend vers zéro à mesure que n augmente, F(a:-+- /i) est la limite de la série

F(x)+AF'(^)H-...H ^ -F»-(^)H-....,

et Ton peut poser la formule suivante, qui est celle de Taylor :

Mais il faut bien faire attention que, d'après la formule sur laquelle est fondée cette série, elle ne peut être substituée à F(j?-{- A) que lorsque F{x) et toutes ses dérivées

GAI.CUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 3oi

sont continues entre a: et a: -H A, et que F" (x h- Oh)

tend vers zéro quand n croît indéfiniment.

La fonction F(x -h A) ne peut être développée suivant les puissances de h autrement que par la formule (3) 5 car deux séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une même variable, et dont les sommes sont égales, quelle que soit la valeur de cette variable, sont les mêmes, terme pour terme.