n est facile de reconnaître que le terme

F«(arH- GA),

qui donne la valeur exacte du reste de la série, après les n

premiers termes, tend vers zéro toutes les fois que F"(x)

reste fini, lorsque n augmente indéfiniment^ et pour cela

h" il suffit de faire voir que tend vers zéro quel que

soit h. En effet, quand n aura dépassé la valeur de A, et

.A" qu'on r augmentera indéfiniment, l'expression sera

multipliée par les fractions ? v> qui diminuent de plus en plus. Mais quand même elles resteraient égales à la première, qui est plus petite que l'unité, on sait que le produit aurait pour limite zéro. Donc il en est de

même de quand n croîtra indéfiniment : et la série

de Taylor peut être employée lorsque F(x) et toutes ses

dérivées sont continues et finies entre a: et a: -H A.

Limites de l'erreur. — La formule (2) a l'avantage de

donner des limites de l'erreur commise en s'arrêtant à un

terme quelconque de la série de Taylor. En effet, si l'on

3oa LIYEE II.

prend les n premiers termes, la quantité exacte qu'il faudrait y ajouter pour obtenir F (a: -H h) est

Si donc on désigne par  et 6 la plus petite et la plus grande valeur que prend F'*(x) quand x passe par toutes les valeurs, de X Si X -h h^ Terreur commise en prenant les n

premiers termes de la série sera plus grande que

et plus petite que •