La formule

n'exige aucune condition relative aux dérivées d'un ordre supérieur au /i'*"**. Ces dernières pourraient être discontinues dans l'intervalle de a: à a: -+- A, sans que la formule cessât d'être exacte. Ainsi ce développement peut être exact quand on l'arrête à un certain terme, et devenir inexact si on voulait le pousser au delà. Supposons, par exemple, que Ton ait

F(^)"=/(^)+(^-xor''^?(^),

m étant un nombre entier positif, et — compris entre o et i .

Si l'on considère pour x la valeur particulière a:„, les dérivées seront finies jusqu'à F'"(j:o) inclusivement, en supposant que celles de y*(a:) et (f{x)\e soient^ mais au delà

CALCUL DES DÉRIYÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 3o3

elles deviendront infinies. Le développement ne devra donc

être poussé que jusqu'au terme F"""* {j:«) tout

au plus 5 et il pourra être complété au moyen d'un terme renfermant la dérivée suivante.

225. Développement de ¥(x). — Si, dans la formule (2), on fait j: = o^ et qu'on remplace ensuite la lettre h par la lettre x, on obtient

Y{x) = F(o) -f- a:F'(o) -f- — F'^Co) -f. . . .

On peut ainsi développer une fonction de x suivant les puissances de x, pourvu que cette fonction et ses dérivées jusqu'à l'ordre n soient continues entre o et x. Si, à mesure

que n augmente indéfiniment, l'expression F"(6j:)

tend vers 2séro,,la fonction F{x) pourra être exprimée par

la formule

(5) F(*) = F(o) H- xF(o) H- -^ F^(o) 4- . . . ;

c'est-à-dire que la limite de la somme des termes du second membre est F(a:). Cette dernière formule est celle de Maclaurin.

Si on l'avait obtenue avant celle de Tajlor, on en déduirait celle-ci en considérant F(a: -f- A) comme une fonction de h et la développant par la formule de Maclaurin.

Formule plus générale pour le développement rfe F(j:). — On peut encore développer F(j:) d'après la formule de Taylor, en remplaçstnt x par x^-^rijx — x^); on trouve

3o4 LIVRE II.

ainsi, d'après réquation (2),

et Ton peut toujours choisir a:«, de telle sorte que F(j:o), F'(j:o)v • • ^^ soient pas infinies. Mais cela ne suflira pas, et il faudra toujours s'assurer que le reste de la série, dont nous connaissons l'expression, a pour limite zéro.

Autre formule. — Enfin la série de Taylor conduit à une autre forme de développement peu employée, due à Bernoulli. Si Ton suppose A = — a:, elle devient

d'où

Les coefficients des différentes puissances de x sont euxmêmes des fonctions àex\ de sorte que l'on ne trouve pas dans ce développement le principal avantage que l'on cherche, qui est de remplacer la fonction par un polynôme entier et rationnel. On s'assurerait de son exactitude comme dans les formules précédentes.

226. 11 faut bien se garder de croire que les séries de Taylor et de Maclaurîn puissent être employées toutes les fois qu'elles sont convergentes ; car elles pourraient converger vers d'autres limites que les fonctions qu'elles devraient représenter.

Ainsi, par exemple, la fonction e '* devient nulle, ainsi que toutes ses dérivées, pour a: == o, et cependant elle n'est pas identiquement nulle. Il suit de là que si F(x)

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 3o5

est une fonction développable par la série de Maclaurin,

F^jjj -4-e **, développée par la même formule, donnera lieu à une série convergente, mais qui représentera F (x), et sera, par consécjuent, inexacte.

L'exactitude du développement ne peut jamais être établie que par la considération de l'expression qui en complète la valeur après un nombre quelconque de termes.

227. Autre dés^loppement différant du premier par la forme du reste.

Dans le n® 217, nous avons déterminé le reste f{h)^ qui complète exactement le développement de F{x -i-h) dans Téquation (i), en différentiant les deux membres de cette équation par rapport à la dernière valeur a: + A ou X en laissant constante la première x. Nous allons maintenant cbercber une autre expression de ce même reste en partant de la même équation (i)> et différentiant ses deux membres par rapport à la première valeur x supposée variable, et considérant la dernière ILoux-hh comme constante. Dans ce cas, le second membre renfermerait deux variables x, A, liées par la condition a: -4- A = X. Pour n'en laisser qu'une seule en évidence, nous remplacerons h par X — x, et l'équation (i) prendra la forme suivante, où ^{x) représente le reste complémentaire qui dépend de la variable actuelle X et de quantités constantes,

Dififérentiant une seule fois les deux membres par rapport à X en laissant X constante, on trouve, toute réduction

Caie, inf. D. — I* 20

3o6 LIVRE II,

faite,

Cette équation détermine la dérivée par rapport k xie la fonction inconnue cp (a?) ^ sa valeur est

d'où Ton peut déduire une expression de (f{x)^ en appliquant la formule (6). En y supposant ti = i, et désignant par z une valeur quelconque, on en tirera

prenant, pour simplifier, z = X, et observant qu ç (X) = o, on obtiendra

(p(a:)=(ar — X)ç'[X-f-0(x — X)],

et, remettant pour 9' l'expression (9), dans laquelle on re placera la variable x par X-|-0{a: — X),il viendra

et, posant i — d=- 6',

La formule (8) devient donc, en remplaçant X par x et supprimant l'accent de d',

¥(x + A) = F(x) -f AFfo:) -4- — F''(a:) -I-. . . (10) < H F'-'f^r)

-1 ^-- —:1PH^ + ÔA).

1 2. . .(/2— ij ^ '

Cette formule ne diffère de (2) que par la forme du rester elle pourra être utile dans les cas ou l'autre serait insuffisante : nous en donnerons des exemples.

En y faisant j? = o, puis en remplaçant la variable h par x, l'équation (10) donne

H 7 -F»-' OH l__l F»0aî .