i — ij 1.2... (/z

Nous allons maintenant donner quelques applications de ces formules.

228. Apj>ligàtions. — i** Soit F (a:) = a', on aura Y'{x) = a'\a,.., F''(^) = «*!««,

F(o)=:i, F(o)=la..., F'»(o)=:l«a,

et, par suite,

«*=i -f-xla H h. . .H ! a^'.

Le reste af' tendant vers zéro, à mesure que n augmente, la série indéfinie a pour somme a'. 2° Soient

F (^) = 1 (i -f- x), F (a:) = (i -f- x)-\ F'' (jc) = — { I -f- a:)-', F" ( x) = zh 1 . 2 . . . (« — I ) (i 4- ^)-% d'où il résulte

F(o)=o, F'(o) = i, F''(o) = — 1,..., F''(o)=:zhi.2...(/î — i),

€t, par conséquent,

l(l-f-x)=ar h -5- 7--f-. ..=i: — (l + Ôa:)-».

lia série serait composée de termes indéfiniment croissants

3o8 LIVRE II.

si Ton supposait a: ]> i , parce que la limite du rapport d'un terme au précédent est a:, lorsque leurs exposants augmentent indéfiniment {voir à la fin la Note sur les séries). Il suflGit donc de s'assurer si le reste tend vers zéro quand on a a: <[ I î et pour cela il faut distinguer deux cas. Si x est positif, on a — < I si a: <^ 1 5 et par conséquent le reste

tend vers zéro, et la série converge vers l(i 4- a:) .

Si X est négatif et qu'on le représente par — z, le reste

— r — ^ ne se présente pas sous une forme propre à faire

reconnaître s'il tend vers zéro, parce que l'on n'aperçoit pas lequel est le plus grand des deux termes de la fraction

r-- Mais si l'on prend la seconde forme que nous avons

indiquée pour le reste, on trouvera pour le cas actuel

— 9 OU, abstraction faite du signe,

55— ÔZ\«-'

I — ÔZ/ I — 03

z — - Q z Or la fraction est moindre que l'unité si ^ <^ i ^ donc

le reste tend vers zéro, et la série représente l(n- x). Cette série peut donc être employée pour toutes les valeurs de x comprises entre -h i et — i .

On peut obtenir des séries plus convergentes que la precédente et plus applicables au calcul des logarithmes.

Si dans la formule

l(l -i- x)=ix 1--77V*»

on change x en — x^ on obtient

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. Sop

et, en retranchant la seconde de la première,

Posant

=i+-, dou x = 9

il vient

i(-^)=i(r + ')-ir

ri i I 1

L274-I 3(2J^ + IJ» Ôl2J--f-l)* J

Cette série très-convergente donne la différence des logarithmes de deux nombres entiers consécutifs, et fait connaître, par conséquent, les logarithmes de tous les nombres entiers depuis l'unité.

Connaissant les logarithmes dans la base e, on les obtiendrait dans toute autre base, en les divisant par le logarithme de la nouvelle base pris dans la base e.

Nous ferons connaître plus tard des procédés plus commodes pour la construction des Tables de logarithmes.

3^ Soit maintenant

F(x) = (.-f-x)-, on aura

F"(x) = m{m — 1) . . . (m — « -«- i)(i -f- «y""^, et, par suite,

(i -f-x)"= I -f-mxH X»...

H ^^ ^ -^--^x"(i-î-Ox)"-«.