il

Pour que la série indéfinie représente (i + x)% il est d'à-

3lO LIVRE II.

bord nécessaire qu'elle soit convergente. Or le rapport du

terme de rang p au précédent est ^ x^ et tend vers

— X k mesuré que p augmente •, donc la série n'est pas convergente si X est en dehors des limites + 1 et — i • Il suffit donc de reconnaître si le reste tend vers zéro pour toutes les valeurs de x comprises entre ces limites.

Ce reste peut se décomposer dans les deux facteurs

^ ' ^ '-a^ et (i-4-ôa:)'"

Le premier tend vers zéro, parce que, si n augmente d'une

unité, il se trouve multiplié par — — a:, qui s'approche de

plus en plus de — x dont la valeur absolue est moindre que

l'unité : et quant au second facteur \ — - j si l'on sup-

pose d'abord x positif, il tend aussi vers zéro, à moins que B lie s'approche indéfiniment de zéro^ mais, dans tous les cas, ce facteur reste plus petit que l'unité, et, par conséquent, le reste de la série tend vers zéro. Donc elle représente [i-i- xY pour toutes les valeurs de x comprises entre

0 et -H I .

Mais si x est négatif, rien ne prouve que le second facteur ne croîtra pas indéfiniment avec /i, et cela arrivera même certainement, à moins que 6 ne tende vers zéro 5 car l'expression (i -H BxY tendrait vers zéro si la fraction

1 -j- 0a: ne s'approchait pas indéfiniment de l'unité. D faut alors avoir recours à la seconde forme du reste, qui est

^ ^ ' ^ — (i-hÔa:)

T n mim — i)...(m — /2-|-i)j:'» ,

Le facteur — ^^ — tend encore vers

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉREIÎTIELLES, ETC. 3ll

zëro^ Tautre facteur, en remplaçant x par — z,

Or on a - ^ < i , puisque z <] i : donc ( — - ) tendra vers zéro, à moins que 0 ne tende vers zéro \ et dans ce cas même cette expression est toujours moindre que Tunité. Donc le reste de la série tend vers zéro, et, par conséquent, celle-ci peut être employée pour toutes les valeurs de x comprises entre -}- 1 et — i • 4° En prenant successivement

F(j?) = sinjr, F(^) = cos^r,

on est conduit aux séries suivantes qui sont exactes, quel que soit x^

sin X ZZZ X -\ : — -4- . . . ,

Elles supposent le rayon égal à Tunité, c'est-à-dire que x désigne le rapport de l'arc au rayon du cercle-, et sinx, cos a: désignent les rapports des lignes auxquelles elles correspondent, à ce même rayon : dans le cas où il serait désigné par R, on remplacerait dans les seconds membres x

par —9 R étant le rayon ^ et dans les premiers sino: et cos j?

sinx cosj? /-w 1 t • I /» •

par "^9 ^ ' (Quelque grand que soit x^ les termes nnis-

sent par aller constamment en diminuant, et comme ils sont alternativement positifs ou négatifs, l'erreur commise en arrêtant la série à un terme quelconque est moindre que le suivant.

5® Considérons maintenant des fonctions de or + A, et

3ia LIVRE II.

soit d'abord ¥{x)=af^\ on trouvera, quel que soit m,

Le rapport du terme de rang p au précédent est — 1

et tend vers quand p augmente indéfiniment; la série

ne sera donc convergente que si l'on a A<[^9 abstraction faite des signes. Quant au reste, on reconnaîtra, comme dans le cas de (n- ar)*", que si h est compris entre +-c et — x^ il tend vers zéro ; et la série représente par conséquent [x -h hy*.

6® Soit encore d'où

F(j:)=:logar,

on trouvera

log(.r -4-^) = logo: -{-loge -f-. . .± —, TrrA*

La convergence de la série exige encore h<C^x\ dans ce cas, on reconnaîtra, comme dans le cas de log(i -H x)^ que le reste tend vers zéro, à mesure que n augmente, et que, par conséquent, log(j:4- A) peut se développer par la formule de Taylor, lorsque h est compris entre -H x et — x.

On déduirait le développement de log (x + A) de celui— de log{i 4- x), en observant que

log(x + A) — log^ = log ( 1 -4- - j ; et de même on aurait déduit le développement de (a: -i- A)' ^

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. '3l3

de celui de (i -h x)"*, en observant que

On développerait aussi «*+*, en remarquant que

a*+* — a* = a* (a^ — i), et il resterait à développer a* par la formule donnée ci-dessus.

229. Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables. — Proposons-nous maintenant de développer Y{x + k^y^k) suivant les puissances de h et A:, V[x^j) étant une fonction donnée. Pour cela nous considérerons d'abord la fonction F (a: + At, j^ -H ht)^ et nous la développerons suivant les puissances de t par la formule de Maclaurin : il suffira ensuite de faire t = i pour avoir le développement cberclié. Or, pour avoir les coefficients des différentes puissances de t, il faut prendre les dérivées successives de F(j: + ht^ y^^) P*'* rapport à *, puis y faire f = o. On trouvera par la règle des fonctions composées de fonctions linéaires, en entendant que, dans toutes les dérivées partielles de F(a:, j^),on remplace x et/ par a: 4- Af , j^ H- Af ,

dY d¥ ^ dF , dt dx dy ^

d'Y d^F ,, rf»F , , d'F „

dt* djc* dydx dj^ '

rf-F ^»F , €f«F , . ^"F ,

-TT = -7— ^-^n — - A»-» it -f- . . . 4- -7— k\

dt" dx" daf^^dy dy""

Si l'on fait t = o dans toutes ces dérivées partielles, elles deviennent celles de la fonction même F (a:, y) . On aura donc

1?/ (dF dF \

^K^ ^ht,y -H kt)z=F(x,y) ^\^—h^ — Ay^...

-la

a Si

etf *« *J i-rt

4ij cri

-Je

• iH

"tî

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 3l5

pourvu que toutes les dérivées partielles, jusqu'à Tordre n inclusivement, soient continues entre or -f- A et^ -f- A.

On aurait une formule analogue si, au lieu de F(ar, j^), on avait une fonction d'un nombre quelconque de variables.

Pour que cette série, poussée indéfiniment, représente F(X'\- A, j^ -I- A) , il faut que l'ensemble des termes qui expriment le reste tende vers zéro ^ et Ton pourrait s'en assurer en prenant la valeur de 6 qui rendrait ce reste le plus grand possible, et cherchant si cette valeur maximum tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment. Quand il arrivera que chaque terme du reste tende vers zéro, quelque valeur qu'ait 9 entre 0 et I , il sera prouvé que le reste lui-même diminue indéfiniment; et la fonction F (x -\- h^ jr -^ k) sera développable ■^ en série suivant les puissances entières et positives de h et k. Si dans la formule précédente on fait a: = o, j^ = o, on a le développement de F (A, A) ; et si Ton change A et A en X et j^, on obtient

\dj)/ [da-djr^

Wvol-^

\ dj" i.2.../2/ejr,or« Dans toutes les dérivées partielles de F{x^j) on doit remplacer x et y par o, excepté dans les termes du reste, où ils doiveht être remplacés par 9x^ Qj, Si ce reste tend vers zéro quand n augmente, E(a7,j^) peut se développer en série indéfinie suivant les puissances de x et y. On a ainsi la formule de Maclaurin étendue aux fonctions de deux variables 5 et on Tétendra semblablement aux fonctions d'un nombre quelconque de variables.

Les deux formules (i) et (2) peuvent être écrites comme il suit, «5 «1,. . ., çf„ tendant vers zéro avec 4 et A :

LIVRB IT.

fa ^

fa ,b

^s -xs

Ji^

fi!

fa|^ fa|i^

fa fa

CALCUL DES DÉUIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. iiy