CHAPITRE IX

DES MÂXIMA ET MINIAfÂ DES FONCTIONS. '

230. On dît qu'une fonction F (a:) prend une valeur maximum pour la valeur Xq de x^ lorsque, x croissant ou décroissant à partir de x^ dans un intervalle déterminé, quelque petit qu'il soit, la fonction F [x) est toujours moindre que F (xo). La valeur de la fonction est minimum lorsque, dans les mêmes circonstances, F(j:) est toujours plus grand que F (a:o).

Il résulte de là que, pour que Xq donne un maximum ou un minimum pour F (a:), il est nécessaire et suffisant que F (xo -h h) — F (xo) soit constamment négatif ou constamment positif, quel que soit le signe de A, pourvu que sa valeur soit suffisamment petite. U n'y a de règles générales, pour s'en assurer, que quand F' (x) est continu dans le voisinage de Xo, et c'est le seul cas que nous examinerons.

On aura alors

F (xo -4- A) — F(x,) = AF' (4?o -4- OA).

Lorsque h tend vers zéro, F' (xo -f- Oh) tend vers F' {xq) ; et si cette dernière valeur n'était pas nulle, le second membre changerait de signe avec h : la différence F (a:© -f- A) — F [xo) ne serait donc pas de signe constant, quel que fut le signe de A, et par conséquent F (x) ne serait ni maximum ni minimum, pour a: = Xo. Une condition commune au maximum et au minimum est donc F'(a:o) = o, et c'est seulement parmi les racines réelles de l'équation F'(x) = o qu'il

3l8 LIVRE II.

faut chercher les valeurs de x propres à rendre F (or) maximum ou minimum. La valeur Xq étant ainsi choisie, on aura

F (;ro -f- A) - F (:r,) r= -^ F'(xo -4- ^h).

La limite de F''(j:o -h ô A) est F''(a:o) lorsque h tend vers zéro, et si Y"[x^) n'est pas nul, il est évident que pour toutes les valeurs de h positives ou négatives, comprises dans des limites suffisamment petites, le second membre et, par suite, la difierence F (a:© -4- A) — F(a:o) conservent toujours le même signe. La valeur F (x^) est donc maximum ou minimum. Elle est maximum lorsque Ton a F'^ (^o) < o, et minimum si ¥" [Xf^)'^ o. Mais si par hasard on a F'^ ( Xo) = o, onne peut plus rien conclure, et il faut mettre la différence sous une autre forme. On pourra écrire dans ce cas

F (xo -4- /i) - F [x,)= Jt-^ F-'(x.H- Ô^),

et comme h^ change de signe avec A, on voit que, si F'^'(xo) n'est pas nul, la différence changerait de signe avec A; il n'y aurait donc ni maximum ni minimum.

Mais si F'''(a7o) = o, on a

F (^0 -H A) - F (oTo) =^ Y^f^ F'" (-^0 4- ^h),

et il est clair que si Ton a F*^ [x^] <Co, la différence est constamment négative, et F (o^o) sera maximum; tandis que si Ton a F*^(a:o) ]> o, elle sera constamment positive, et ¥{xti) sera minimum.

Les mêmes raisonnements étant continués jusqu'à ce que Ton obtienne une dérivée qui ne devienne pas nulle pour 07 = ^0? on arrive à cette conclusion générale que, pour que Xq rende maximum ou minimum une Jonction dont

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES, ETC. 'ilQ

les dérivées sont continues, il faut que cette valeur de x annule un nombre impair de dériv^ées consécutisfes, à partir de la première; et lorsque cette condition est remplie, on a un maximum si la déris/ée suis^ante est rendue négatii^e par cette valeur dex, et un minimum si elle est positii^.

La recherclie des maxîma et minima est ainsi ramenée à la détermination des dérivées d'une fonction d'une seule variable et des racines réelles d'une équation à une inconnue*

Si cette fonction n'est pas donnée d'une manière explicite, on formera ses dérivées par les règles connues, puis on appliquera la théorie qui vient d'être exposée, et qui est indépendante des moyens à employer pour former ces dérivées. Nous allons montrer quelle est, dans ce cas, la marche du calcul.

231 . Cas des fonctions implicites. — Considérons une fonction liée km — i variables par /w — i équations données^ soient, pour fixer les idées, les trois équations

F {x, j, z, tt) = o, F, (ar, jr, «, u) = o, F, (x, j, z, u) = o,

u étant la fonction de x dont il faut trouver le maximum ou le minimum.

En les différentiant, on trouve

r d¥ dx

dz dx

du dx~^

dFt dx

ày

dFt dz

dz dx

dF, du

du dx^

dF, dx

dF,

dF, dz

dz dx

dF, du

au moyen de ces équations, on éliminera 3~> ^> ^^ ^^ va-

ou, plus simplement, on remplacera — par zéro dans ces

leur de — qu'on en tirera devra ensuite être égalée à zéro ]

Imnlement. on remplacera

équations, puis on éliminera ^> — entre les équations résultantes, qui sont

d^ dF dx dF dz^ dx dy dx dz dx

. dFt f[Fi ^ gfF, dz __ ^ ^ dv dy dx dz eix

dFi d¥t dy dF, dz dx dy dx dz dx

p nV" dz

Eliminant -^ et —9 on obtiendra une équation qui, jointe aux trois autres F = o, F| = o, Fj = o, déterminera

On différentiera de nouveau les équations (i), et Ton obtiendra la valeur de --- ; on y substituera les valeurs trou-

dx^ ' ^

vées de x^y^ z, m, et Ton reconnaîtra aux signes de cette expression s'il y a maximum ou minimum. Si Ton avait

-— = o, on chercherait les dérivées suivantes de u par rapport à x, et Ton y appliquerait la théorie précédente.